समान डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य वाले प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जाओं के अनुपात को हल करने के लिए, आइए पहले गतिज ऊर्जा, संवेग और डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य के बीच संबंध को याद करें।

डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $$\lambda$$ निम्न द्वारा दी जाती है:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

जहाँ $$h$$ प्लांक नियतांक है और $$p$$ संवेग है।

चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य समान है, इसलिए उनके संवेग समान होने चाहिए:

$$\lambda_{\text{electron}} = \lambda_{\text{proton}} \implies \frac{h}{p_{\text{e}}} = \frac{h}{p_{\text{p}}} \implies p_{\text{e}} = p_{\text{p}}$$

इसके बाद, एक कण की गतिज ऊर्जा $$K$$ उसके संवेग $$p$$ और द्रव्यमान $$m$$ से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:

$$K = \frac{p^2}{2m}$$

यह देखते हुए कि संवेग $$p$$ प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों के लिए समान है, हम गतिज ऊर्जाओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$K_{\text{e}} = \frac{p^2}{2m_{\text{e}}}$$

$$K_{\text{p}} = \frac{p^2}{2m_{\text{p}}}$$

इसलिए गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:

$$\frac{K_{\text{e}}}{K_{\text{p}}} = \frac{\frac{p^2}{2m_{\text{e}}}}{\frac{p^2}{2m_{\text{p}}}} = \frac{m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}}$$

यह देखते हुए कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $$m_{\text{p}}$$, इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $$m_{\text{e}}$$ का 1836 गुना है, हमारे पास है:

$$\frac{m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}} = 1836$$

इस प्रकार, गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:

$$\frac{K_{\text{e}}}{K_{\text{p}}} = 1836$$

इसलिए, सही उत्तर है:

विकल्प C

$$1: 1836$$

Dual Nature Of Radiation

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