यहाँ, हम आपेक्षिक गति की अवधारणा का उपयोग करेंगे।

मान लीजिए दोनों कारों की प्रारंभिक ($$t = 0$$ पर) स्थिति x = 0 है (क्योंकि वे पहली बार t = 0 पर एक-दूसरे को पार करती हैं)

दिया गया है : P के लिए

$${a_P} \propto t$$

Q के लिए,

$${a_Q} = a'$$ (माना) (नियतांक)

$$ \Rightarrow {a_{{p^{(t)}}}} = kt$$ जहाँ, k = नियतांक

$$ \Rightarrow {{d{v_p}(t)} \over {dt}} = kt$$ (क्योंकि $$a = {{dv} \over {dt}}$$)

$$ \Rightarrow \int_0^{{v_p}(t)} {d{v_p}(t) = \int_0^t {ktdt} } $$ [माना P और Q दोनों विराम अवस्था से प्रारंभ होती हैं]

$$ \Rightarrow {v_p}(t) = {{k{t^2}} \over 2}$$

$$ \Rightarrow {{d{x_p}(t)} \over {dt}} = {{k{t^2}} \over 2}$$ [क्योंकि $$v = {{dx} \over {dt}}$$]

$$ \Rightarrow \int_0^{{x_p}(t)} {d{x_{p(t)}} = \int_0^t {{{k{t^2}} \over 2}dt} } $$

$$ \Rightarrow {x_p}(t) = {{k{t^3}} \over 6}$$ .... (1)

अब, Q के लिए,

$${x_Q}(t) = {1 \over 2}{a^1}{t^2}$$ .... (2) [न्यूटन के गति के द्वितीय समीकरण का उपयोग करते हुए]

अतः, Q के सापेक्ष P की आपेक्षिक स्थिति,

$${x_{P{Q^{(t)}}}} = {x_p}(t) - {x_Q}(t)$$

$$ \Rightarrow {x_{P{Q^{(t)}}}} = {{k{t^3}} \over 6} - {1 \over 2}{a^1}{t^2}$$ ((1) और (2) से)

जब दोनों कारें एक-दूसरे को पार करती हैं, $X_{PQ}=O$

चूंकि $X_{PQ}(t)$ एक त्रिघात बहुपद है, इसलिए इसके अधिकतम 3 मूल हैं।

अतः, पार करने की अधिकतम संख्या = 3

Motion In A Straight Line

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