यात्रा की अवधि के लिए ट्रेन की औसत चाल ज्ञात करने के लिए, हमें ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी और लिया गया कुल समय जानना आवश्यक है।

ट्रेन समय $$t$$ में $$80 \, \mathrm{km/h}$$ की चाल तक समान रूप से त्वरित होती है, और फिर $$3t$$ के लिए इस नियत चाल से गति करती है। औसत चाल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$$\text{औसत चाल} = \frac{\text{तय की गई कुल दूरी}}{\text{लिया गया कुल समय}}$$

चरण 1: त्वरण के दौरान तय की गई दूरी की गणना करें

ट्रेन के त्वरित होने के दौरान तय की गई दूरी समान त्वरण के अंतर्गत तय की गई दूरी के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:

$$d_1 = \frac{1}{2} at^2$$

जहाँ:

$d_1$ त्वरण के दौरान तय की गई दूरी है।
$a$ त्वरण है (हमारे पास इसका प्रत्यक्ष मान नहीं है, लेकिन हम दी गई जानकारी के साथ कार्य कर सकते हैं)।
$t$ समय है।

हालांकि, त्वरण ($a$) के बिना गणना को आगे बढ़ाने के लिए, हम पहचानते हैं कि सूत्र सीधे दूरी से संबंधित है लेकिन त्वरण के ज्ञान की आवश्यकता है। इसके बजाय, आइए अंतिम चाल और समय के संदर्भ में सोचें, यह देखते हुए कि ट्रेन समय $$t$$ में $$80 \, \mathrm{km/h}$$ (या $$\frac{80}{3.6} = 22.22 \, \mathrm{m/s}$$) तक पहुंचती है।

वेग, समय और दूरी के बीच संबंध का उपयोग करते हुए, चूंकि त्वरण समान है, हम उपयोग कर सकते हैं:

$$d_1 = v \times t_1 - \frac{1}{2} a t^2$$

यह देखते हुए कि प्रारंभिक चाल $u = 0$ और अंतिम चाल $v = 80 \, \mathrm{km/h}$ है, चाल को मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करने पर (चूंकि हमारा समय संभवतः सेकंड में है) हमें $22.22 \, \mathrm{m/s}$ मिलता है। लेकिन सीधे त्वरण की गणना किए बिना, हम त्वरण चरण के लिए औसत चाल का उपयोग करके सरल बनाते हैं क्योंकि यह विराम से शुरू होती है और $v$ तक पहुंचती है।

त्वरण के दौरान औसत चाल, \(v_{avg} = \frac{u + v}{2} = \frac{0 + 80}{2} = 40 \, \mathrm{km/h}$$।

इस प्रकार, दूरी $d_1 = v_{avg} \times t = 40 \, \mathrm{km/h} \times t$।

चरण 2: नियत चाल पर तय की गई दूरी की गणना करें

नियत चाल पर तय की गई दूरी की गणना करना आसान है:

$$d_2 = v \times t_2 = 80 \, \mathrm{km/h} \times 3t$$

चरण 3: कुल दूरी और कुल समय की गणना करें

तय की गई कुल दूरी ($D$), $d_1$ और $d_2$ का योग है:

$$D = d_1 + d_2 = 40t + 240t = 280t \, \mathrm{km}$$

लिया गया कुल समय ($T$), $t + 3t = 4t$ है।

चरण 4: औसत चाल की गणना करें

औसत चाल के सूत्र में $D$ और $T$ के मानों को प्रतिस्थापित करें:

$$\text{औसत चाल} = \frac{280t}{4t}$$

यह $70 \, \mathrm{km/h}$ में सरल हो जाता है।

अतः, यात्रा की इस अवधि के लिए ट्रेन की औसत चाल $70 \, \mathrm{km/h}$ है, जो विकल्प A से मेल खाती है।

Motion In A Straight Line

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