इस समस्या को हल करने के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण के कारण नियत त्वरण के अंतर्गत गति के समीकरणों का उपयोग करेंगे। आइए परिभाषित करें:

$ h $: मीनार की ऊंचाई

$ u $: प्रक्षेपण की प्रारंभिक चाल (दोनों स्थितियों में समान परिमाण)

$ g $: गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (नीचे की ओर धनात्मक)

$ t_1 $: ऊपर की ओर प्रक्षेपित करने पर जमीन तक पहुंचने में लगा समय

$ t_2 $: नीचे की ओर प्रक्षेपित करने पर जमीन तक पहुंचने में लगा समय

$ t $: केवल गिराने पर जमीन तक पहुंचने में लगा समय

स्थिति 1: प्रक्षेप्य को ऊपर की ओर फेंका गया

जब पिंड को मीनार के शीर्ष से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसका प्रारंभिक वेग $ -u $ है (क्योंकि ऊपर की दिशा ऋणात्मक है), और यह समय $ t_1 $ में जमीन पर पहुंचता है। गति का समीकरण है:

$ h = -u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 $

स्थिति 2: प्रक्षेप्य को नीचे की ओर फेंका गया

जब पिंड को मीनार के शीर्ष से नीचे की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसका प्रारंभिक वेग $ u $ है, और यह समय $ t_2 $ में जमीन पर पहुंचता है। समीकरण है:

$ h = u t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2 $

स्थिति 3: पिंड को गिराया गया

जब पिंड को केवल गिराया जाता है, तो इसका प्रारंभिक वेग $ 0 $ है, और यह समय $ t $ में जमीन पर पहुंचता है:

$ h = \frac{1}{2} g t^2 $

चरण 1: ऊंचाइयों को बराबर करें

स्थिति 1 और 2 से, $ h $ के व्यंजकों को बराबर करें:

$ -u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = u t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2 $

चरण 2: $ u $ के लिए हल करें

समीकरण को सरल करें:

$ -u t_1 - u t_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 $

$ -u (t_1 + t_2) = \frac{1}{2} g (t_2^2 - t_1^2) $

$ -u (t_1 + t_2) = \frac{1}{2} g (t_2 - t_1)(t_2 + t_1) $

दोनों पक्षों को $ t_1 + t_2 $ से भाग दें:

$ -u = \frac{1}{2} g (t_2 - t_1) $

$ u = \frac{1}{2} g (t_1 - t_2) $

चरण 3: $ h $ को $ t_1 $ और $ t_2 $ के पदों में व्यक्त करें

$ u $ को $ h $ के लिए एक समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें:

$ h = -\left( \frac{1}{2} g (t_1 - t_2) \right) t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 $

सरल करें:

$ h = \frac{1}{2} g t_1 t_2 $

चरण 4: गिराई गई स्थिति के लिए ऊंचाई को बराबर करें

गिराई गई स्थिति से:

$ h = \frac{1}{2} g t^2 $

$ h $ के दोनों व्यंजकों को एक दूसरे के बराबर रखें:

$ \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g t_1 t_2 $

$ t^2 = t_1 t_2 $

चरण 5: $ t $ के लिए हल करें

$ t = \sqrt{t_1 t_2} $

निष्कर्ष:

जब पिंड को गिराया जाता है तो जमीन तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय $ t_1 $ और $ t_2 $ का गुणोत्तर माध्य है:

उत्तर: विकल्प B

$ t = \sqrt{t_1 \, t_2} $

Motion In A Straight Line

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