मान लीजिए कण द्वारा तय की गई कुल दूरी $$2d$$ है, जहाँ $$d$$ प्रत्येक आधे भाग की दूरी है। औसत चाल की गणना करने के लिए, हमें तय की गई कुल दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करना होगा।

यात्रा के पहले आधे भाग में, कण $$6 \ \text{m/s}$$ की चाल से $$d$$ दूरी तय करता है। यात्रा के इस भाग के लिए लिया गया समय सूत्र $$\text{time} = \frac{\text{distance}}{\text{speed}}$$ का उपयोग करके गणना की जा सकती है। अतः,

$$ \text{time}_1 = \frac{d}{6} $$

यात्रा के दूसरे आधे भाग में, दूरी $$d$$ को आगे दो भागों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक समान समय अंतराल में तय किया जाता है। दी गई चालें क्रमशः $$9 \ \text{m/s}$$ और $$15 \ \text{m/s}$$ हैं, आइए समान समय अंतराल को $$t$$ कहें। इन अंतरालों में तय की गई दूरी $$\text{distance} = \text{speed} \times \text{time}$$ द्वारा ज्ञात की जा सकती है।

$$9 \ \text{m/s}$$ पर तय किए गए भाग के लिए:

$$ d_1 = 9t $$

$$15 \ \text{m/s}$$ पर तय किए गए भाग के लिए:

$$ d_2 = 15t $$

चूँकि ये दोनों भाग मिलकर यात्रा का दूसरा आधा भाग बनाते हैं,

$$ d_1 + d_2 = d $$

$$ 9t + 15t = d $$

इससे हमें $$24t = d$$ मिलता है, और इससे हम $$t = \frac{d}{24}$$ प्राप्त कर सकते हैं।

यात्रा के दूसरे आधे भाग के लिए कुल समय दोनों भागों के समय का योग है, जो समान हैं (प्रत्येक $$t$$), इसलिए दूसरे आधे भाग के लिए कुल समय $$2t$$ है। चूँकि $$t = \frac{d}{24}$$,

$$ \text{time}_2 = 2 \times \frac{d}{24} = \frac{d}{12} $$

संपूर्ण यात्रा के लिए लिया गया कुल समय पहले और दूसरे आधे भागों के समय का योग है:

$$ \text{total time} = \text{time}_1 + \text{time}_2 = \frac{d}{6} + \frac{d}{12} $$

$$ \text{total time} = \frac{2d}{12} + \frac{d}{12} = \frac{3d}{12} = \frac{d}{4} $$

कुल दूरी $$2d$$ है, और कुल समय $$\frac{d}{4}$$ है। इसलिए, औसत चाल की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$ \text{average speed} = \frac{\text{total distance}}{\text{total time}} = \frac{2d}{\frac{d}{4}} = \frac{2d}{1} \times \frac{4}{d} = 8 \ \text{m/s} $$

इस प्रकार, सही उत्तर है विकल्प D: 8 m/s।

Motion In A Straight Line

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