एक थैले में 4 सफेद और 6 काली गेंदें हैं, जिसमें से दो गेंदों को बिना प्रतिस्थापन के एक-एक करके चुना जाता है। हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि पहली गेंद काली है, जबकि दी गई है कि दूसरी गेंद काली है। आइए घटनाओं को परिभाषित करें:

A: चुनी गई पहली गेंद काली है।

B: चुनी गई दूसरी गेंद काली है।

प्रायिकता $ P(A|B) $ निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

आइए प्रत्येक भाग को अलग-अलग परिकलित करें:

दोनों गेंदों के काले होने की प्रायिकता $ P(A \cap B) $:

पहली गेंद के काले होने की संभावना $\frac{6}{10}$ है। यह दिया गया है कि एक काली गेंद हटा दी गई है, दूसरी के भी काले होने की प्रायिकता $\frac{5}{9}$ है।

$ P(A \cap B) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} $

दूसरी गेंद के काले होने की प्रायिकता $ P(B) $:

यह तब हो सकता है जब या तो पहली गेंद सफेद हो या काली:

पहली गेंद सफेद, दूसरी काली: $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9}$

दोनों गेंदें काली: $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9}$

$ P(B) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{24}{90} + \frac{30}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} $

अब, इन प्रायिकताओं का उपयोग करते हुए:

$ P(A|B) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{9} $

यहाँ, $ \frac{5}{9} $ अपने सरलतम रूप में है ($\operatorname{gcd}(5, 9) = 1$), इसलिए $ m = 5$ और $ n = 9 $ है।

अतः, $ m + n = 5 + 9 = 14 $।

Probability

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