माना कि 8 उछालों (tosses) के परिणामों को $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8$ द्वारा दर्शाया गया है।

शर्त "पहले छह उछालों में ठीक 4 चित (heads)" का अर्थ है कि ब्लॉक $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$ में 4 चित हैं।

शर्त "अंतिम पांच उछालों में ठीक 3 चित" का अर्थ है कि ब्लॉक $(x_4, x_5, x_6, x_7, x_8)$ में 3 चित हैं।

ध्यान दें कि ये दोनों ब्लॉक उभयनिष्ठ (common) उछालों $(x_4, x_5, x_6)$ में ओवरलैप करते हैं।

माना उभयनिष्ठ उछालों $(x_4, x_5, x_6)$ में चितों की संख्या $k$ है।

तब:

• $(x_1, x_2, x_3)$ में $4-k$ चित होने चाहिए (ताकि पहले छह उछालों में कुल 4 चित हों)।

• $(x_7, x_8)$ में $3-k$ चित होने चाहिए (ताकि अंतिम पांच उछालों में कुल 3 चित हों)।

अब हम $k$ के प्रत्येक संभावित मान के लिए वैध परिणाम अनुक्रमों (valid outcome sequences) की संख्या गिनते हैं।

$k=1$ ∴ ओवरलैप करने के तरीके = ${}^3C_1$

यहाँ, हम चुनते हैं:

• $(x_1, x_2, x_3)$ में $4-k=3$ चित रखने के ${}^3C_3$ तरीके,

• $(x_4, x_5, x_6)$ में $k=1$ चित रखने के ${}^3C_1$ तरीके,

• $(x_7, x_8)$ में $3-k=2$ चित रखने के ${}^2C_2$ तरीके।

$${}^3C_3 \times {}^3C_1 \times {}^2C_2 = 3 \text{ तरीके}$$

$k=2$

यहाँ, हम चुनते हैं:

• $(x_1, x_2, x_3)$ में $4-k=2$ चित रखने के ${}^3C_2$ तरीके,

• $(x_4, x_5, x_6)$ में $k=2$ चित रखने के ${}^3C_2$ तरीके,

• $(x_7, x_8)$ में $3-k=1$ चित रखने के ${}^2C_1$ तरीके।

$${}^3C_2 \times {}^3C_2 \times {}^2C_1 = 18$$

$k=3$

यहाँ, हम चुनते हैं:

• $(x_1, x_2, x_3)$ में $4-k=1$ चित रखने के ${}^3C_1$ तरीके,

• $(x_4, x_5, x_6)$ में $k=3$ चित रखने का $1$ तरीका (सभी चित),

• $(x_7, x_8)$ में $3-k=0$ चित रखने का $1$ तरीका (सभी पट (tails))।

$${}^3C_1 \times 1 = 3$$

कुल अनुकूल परिणाम $= 3+18+3 = 24$।

चूँकि 8 उछालों के प्रत्येक पूर्ण अनुक्रम (sequence) की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^8$ है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:

कुल तरीके $24\left(\frac{1}{2}\right)^8$

अतः $p = 24\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{24}{2^8} = \frac{24}{256} = \frac{3}{32}$, इसलिए $96p = 96 \cdot \frac{3}{32} = 9$।

$$96 \times \frac{24}{28} = \frac{6 \times 24}{16} = 9$$

Probability

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