$31$ दिनों में से किन्हीं $3$ अलग-अलग तारीखों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या है

$$ \binom{31}{3} $$

अब हम उन चयनों की संख्या गिनते हैं जिनमें तीनों तारीखें एक वर्धमान समांतर श्रेढ़ी (A.P.) में हैं।

माना तीनों तारीखें हैं

$$ a-d,\ a,\ a+d $$

जहाँ $d \ge 1$ एक पूर्णांक है।

इसलिए हमें इस रूप के सभी त्रिक (triples) चाहिए

$$ x,\ x+r,\ x+2r $$

जहाँ

$$ x \ge 1,\quad x+2r \le 31 $$

एक निश्चित सार्व अंतर $r$ के लिए, प्रथम पद $x$ को इनमें से चुना जा सकता है

$$ 1,2,3,\dots,31-2r $$

इसलिए सार्व अंतर $r$ वाली समांतर श्रेढ़ियों (A.P.s) की संख्या है

$$ 31-2r $$

अब $r$ के मान हो सकते हैं

$$ 1,2,3,\dots,15 $$

क्योंकि

$$ x+2r \le 31 \Rightarrow 2r \le 30 \Rightarrow r \le 15 $$

अतः कुल अनुकूल चयन हैं

$$ \sum_{r=1}^{15} (31-2r) $$

यह है

$$ 15\cdot 31 - 2\sum_{r=1}^{15} r $$

$$ = 465 - 2\cdot \frac{15\cdot 16}{2} $$

$$ = 465 - 240 $$

$$ = 225 $$

इसलिए,

$$ P=\frac{225}{\binom{31}{3}} $$

अब,

$$ \binom{31}{3}=\frac{31\cdot 30\cdot 29}{6}=4495 $$

अतः,

$$ P=\frac{225}{4495} $$

अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर:

$$ P=\frac{45}{899} $$

इस प्रकार,

$$ a=45,\quad b=899 $$

इसलिए,

$$ a+b=45+899=944 $$

अतः अभीष्ट उत्तर है

$$ \boxed{944} $$

Probability

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