मान लीजिए तीन रोल के परिणामों को $$X_1$$, $$X_2$$, और $$X_3$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ $$X_i$$, $$i^{\text{वें}}$$ रोल में प्राप्त संख्या को दर्शाता है। हम उस प्रायिकता की तलाश कर रहे हैं कि:

$$X_2 > X_1 \text{ और } X_3 > X_2$$

पासे को तीन बार फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या है:

$$6^3 = 216$$

आइए अनुकूल परिणामों की गणना करें। प्रत्येक संतोषजनक परिणाम के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों असमिकाओं का पालन किया जाए। उन संभावित अनुक्रमों पर विचार करें जहाँ प्रत्येक बाद के रोल की संख्या पिछले रोल की संख्या से अधिक है। ये अनुक्रम हैं:

(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 2, 5)
(1, 2, 6)
(1, 3, 4)
(1, 3, 5)
(1, 3, 6)
(1, 4, 5)
(1, 4, 6)
(1, 5, 6)
(2, 3, 4)
(2, 3, 5)
(2, 3, 6)
(2, 4, 5)
(2, 4, 6)
(2, 5, 6)
(3, 4, 5)
(3, 4, 6)
(3, 5, 6)
(4, 5, 6)

स्पष्ट रूप से, ऐसे 20 अनुकूल परिणाम हैं। अतः, प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

$$ \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54} $$

इसलिए, सही विकल्प है:

विकल्प A: $$\frac{5}{54}$$

Probability

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