इस समस्या को हल करने के लिए, हम बेज़ प्रमेय का उपयोग करते हैं। आइए घटनाओं को परिभाषित करें:

$$X$$: बैग $$X$$ का चयन
$$Y$$: बैग $$Y$$ का चयन
$$Z$$: बैग $$Z$$ का चयन
$$A$$: एक रुपये के सिक्के को निकालना

हमें दिया गया है कि एक बैग यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, इसलिए किसी भी बैग को चुनने की प्रायिकताएँ हैं:

$$P(X) = P(Y) = P(Z) = \frac{1}{3}$$

इसके बाद, हमें प्रत्येक बैग से एक रुपये का सिक्का निकालने की प्रायिकता चाहिए:

बैग $$X$$ से: $$P(A|X) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$$
बैग $$Y$$ से: $$P(A|Y) = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$$
बैग $$Z$$ से: $$P(A|Z) = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

हमें यह ज्ञात करना है कि सिक्का बैग $$Y$$ से आया होने की प्रायिकता क्या है, दिया गया है कि एक रुपये का सिक्का निकाला गया था, अर्थात्, हमें $$P(Y|A)$$ चाहिए। बेज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए:

$$P(Y|A) = \frac{P(A|Y) \cdot P(Y)}{P(A)}$$

$$P(A)$$ ज्ञात करने के लिए, एक रुपये का सिक्का निकालने की कुल प्रायिकता की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$P(A) = P(A|X) \cdot P(X) + P(A|Y) \cdot P(Y) + P(A|Z) \cdot P(Z)$$

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$$P(A) = \left(\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\right)$$

उपरोक्त की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$P(A) = \frac{5}{27} + \frac{4}{27} + \frac{1}{9}$$

ध्यान दें कि $$\frac{1}{9} = \frac{3}{27}$$, इसलिए:

$$P(A) = \frac{5}{27} + \frac{4}{27} + \frac{3}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$$

अब, बेज़ प्रमेय में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

$$P(Y|A) = \frac{\left(\frac{4}{9}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)}{\frac{4}{9}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{3}$$

अतः, सिक्का बैग $$Y$$ से आया होने की प्रायिकता है:

विकल्प B: $$\frac{1}{3}$$

Probability

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