एक सरल लोलक का आवर्तकाल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

जहाँ $$T$$ आवर्तकाल है, $$l$$ लोलक की लंबाई है, और $$g$$ लोलक के स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण है।

गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी की सतह से ऊँचाई के साथ परिवर्तित होता है। पृथ्वी की सतह से $$h$$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण को निम्न प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$g' = g \left(\frac{R}{R + h}\right)^2$$

जहाँ $$g$$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है, $$R$$ पृथ्वी की त्रिज्या है, और $$h$$ पृथ्वी की सतह से ऊँचाई है। चूँकि लोलक का आवर्तकाल गुरुत्वीय त्वरण के व्युत्क्रम के वर्गमूल पर निर्भर करता है, इसलिए ऊँचाई में परिवर्तन के कारण $$g$$ में कोई भी परिवर्तन आवर्तकाल को प्रभावित करेगा।

दिया गया है कि पृथ्वी की सतह से $$R$$ ऊँचाई पर लोलक का आवर्तकाल $$T_1$$ है, और हमें $$2R$$ की ऊँचाई पर आवर्तकाल $$T_2$$ ज्ञात करना है, हम विभिन्न ऊँचाइयों पर गुरुत्वीय त्वरण के सूत्र का उपयोग करके $$T_1$$ और $$T_2$$ के बीच संबंध व्यक्त कर सकते हैं।

ऊँचाई $$R$$ पर प्रारंभिक स्थिति के लिए:

$$g_1 = g \left(\frac{R}{R + R}\right)^2 = g \left(\frac{R}{2R}\right)^2 = \frac{g}{4}$$

ऊँचाई $$2R$$ पर नई स्थिति के लिए:

$$g_2 = g \left(\frac{R}{R + 2R}\right)^2 = g \left(\frac{R}{3R}\right)^2 = \frac{g}{9}$$

आवर्तकाल $$g$$ के व्युत्क्रम के वर्गमूल के समानुपाती है, इसलिए:

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}} = \sqrt{\frac{\frac{g}{9}}{\frac{g}{4}}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$

इसलिए:

$$T_1 = \frac{2}{3}T_2$$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$$3T_1 = 2T_2$$

यह विकल्प A से संगत है।

Simple Harmonic Motion

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