जब किसी दिए गए विस्थापन पर वेग को तीन गुना बढ़ाया जाता है तो गति के नए आयाम को ज्ञात करने के लिए, हम सरल आवर्त गति (SHM) की अवधारणाओं और इसके सूत्रों का उपयोग करते हैं।

SHM में, माध्य स्थिति से विस्थापन $x$ पर एक कण का वेग $v$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जा सकता है:

$$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$$

जहाँ:

$\omega$ गति की कोणीय आवृत्ति है,
$A$ आयाम है, और
$x$ उस क्षण पर विस्थापन है।

दिया गया है:

उस क्षण पर विस्थापन, $x = \frac{2A}{3}$,
इस विस्थापन पर प्रारंभिक वेग को तीन गुना बढ़ाया जाता है।

इस प्रकार, आइए $x = \frac{2A}{3}$ पर प्रारंभिक वेग $v$ ज्ञात करें:

$$v = \omega \sqrt{A^2 - \left(\frac{2A}{3}\right)^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}A\omega}{3}$$

वेग को तीन गुना बढ़ाने पर, नया वेग $v'$ बन जाता है:

$$v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}A\omega}{3} = \sqrt{5}A\omega$$

नए आयाम $A'$ के लिए, समान विस्थापन $x$ पर वेग $v'$ है:

$$v' = \omega \sqrt{{A'}^2 - \left(\frac{2A}{3}\right)^2}$$

$v'$ के व्यंजकों को बराबर रखने पर:

$$\sqrt{5}A\omega = \omega \sqrt{{A'}^2 - \frac{4A^2}{9}}$$

$$\sqrt{5}A = \sqrt{{A'}^2 - \frac{4A^2}{9}}$$

$A'$ के लिए हल करने पर:

$${A'}^2 = 5A^2 + \frac{4A^2}{9} = \frac{45A^2 + 4A^2}{9} = \frac{49A^2}{9}$$

$$A' = \sqrt{\frac{49A^2}{9}} = \frac{7A}{3}$$

इसलिए, गति का नया आयाम $\frac{7A}{3}$ है, जिसका अर्थ है कि $n$ का मान 7 है।

Simple Harmonic Motion

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