इस समस्या को हल करने के लिए, हम सबसे पहले ध्यान दें कि ठोस गोले और खोखले बेलन दोनों के लिए, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है जब वे बिना फिसले आनत तल पर ऊपर की ओर लुढ़कते हैं। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (जो स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जा दोनों से मिलकर बनी है) अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

प्रारंभ में प्रत्येक पिंड के लिए गतिज ऊर्जा:

ठोस गोले के लिए, जड़त्व आघूर्ण $$I$$, $$I = \frac{2}{5}mr^2$$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $$m$$ द्रव्यमान है और $$r$$ गोले की त्रिज्या है। गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $$\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$$ और घूर्णी गतिज ऊर्जा $$\left(\frac{1}{2}I\omega^2\right)$$ का योग है, जहाँ $$\omega$$ कोणीय वेग है। चूँकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है, $$v = r\omega$$।

ठोस गोले के लिए कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है:

$$KE_{\text{sphere}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$$

खोखले बेलन के लिए, जड़त्व आघूर्ण $$I$$, $$mr^2$$ है। अतः, इसकी कुल गतिज ऊर्जा है:

$$KE_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mr^2\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$$

अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा:

दोनों पिंडों के लिए, अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $$PE = mgh$$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $$h$$ प्राप्त की गई ऊँचाई है।

ऊर्जा संरक्षण का अनुप्रयोग:

ठोस गोले के लिए, ऊर्जा संरक्षण समीकरण है:

$$\frac{7}{10}mv^2 = mgh_1$$

$$h_1$$ के लिए हल करने पर:

$$h_1 = \frac{7v^2}{10g}$$

खोखले बेलन के लिए, ऊर्जा संरक्षण देता है:

$$mv^2 = mgh_2$$

अतः, $$h_2 = \frac{v^2}{g}$$।

अनुपात $$h_1:h_2$$ ज्ञात करना:

$$h_1$$ और $$h_2$$ का अनुपात है:

$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{7v^2}{10g}}{\frac{v^2}{g}} = \frac{7}{10}$$

इसलिए, $$n$$ का मान, जो अनुपात $$\frac{n}{10}$$ में अंश को दर्शाता है, $$7$$ है। अतः, ठोस गोले और खोखले बेलन द्वारा क्रमशः प्राप्त अधिकतम ऊँचाइयों $$h_1:h_2$$ का अनुपात $$\frac{7}{10}$$ है।

Rotational Motion

Continue this paper

Similar Rotational Motion PYQs

More practice from this question