समतल सतह पर बिना फिसले लुढ़कने वाले खोखले गोले के लिए, इसकी कुल गतिज ऊर्जा (K.E.) इसकी स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग होती है। स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा गोले के द्रव्यमान केंद्र की गति से उत्पन्न होती है, और घूर्णी गतिज ऊर्जा इसके द्रव्यमान केंद्र से होकर जाने वाली अक्ष के परितः घूर्णन के कारण होती है (इस स्थिति में, सममिति अक्ष)।

स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा (TKE) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\text{TKE} = \frac{1}{2}mv^2$$

जहाँ:

m गोले का द्रव्यमान है,

v द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग है।

लुढ़कने वाली वस्तु के लिए घूर्णी गतिज ऊर्जा (RKE) को इस प्रकार दिया जा सकता है:

$$\text{RKE} = \frac{1}{2}I\omega^2$$

खोखले गोले के लिए, उसकी सममिति अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) होता है:

$$I = \frac{2}{3}mr^2$$

जहाँ r गोले की त्रिज्या है। कोणीय वेग, $$\omega$$, को रैखिक वेग, v, से संबंध $$v = r\omega$$ द्वारा संबंधित किया जा सकता है, बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए। हम RKE के व्यंजक में $$\omega = \frac{v}{r}$$ को प्रतिस्थापित करते हैं:

$$\text{RKE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}mr^2 \cdot \left(\frac{v}{r}\right)^2$$

यह सरल हो जाता है:

$$\text{RKE} = \frac{1}{3}mv^2$$

लुढ़कने वाले खोखले गोले की कुल गतिज ऊर्जा (Total K.E.) इसकी स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जाओं का योग है:

$$\text{Total K.E.} = \text{TKE} + \text{RKE} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{3}mv^2 = \frac{5}{6}mv^2$$

अब, हम घूर्णी गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात ज्ञात करना चाहते हैं:

$$\frac{\text{RKE}}{\text{Total K.E.}} = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{5}{6}mv^2}$$

चूँकि द्रव्यमान और वेग अंश और हर दोनों में समान हैं, वे निरस्त हो जाएंगे, शेष रहेगा:

$$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$$

इसलिए, $$x$$ का मान, जो इसकी सममिति अक्ष के परितः समतल सतह पर लुढ़कने वाले खोखले गोले के लिए घूर्णी गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा के अनुपात को दर्शाता है, $$\frac{2}{5}$$ है। इस प्रकार, $$x = \frac{2}{5}$$।

Rotational Motion

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