आइए घटनाओं को निम्नानुसार निरूपित करें:

माना $$ A_1, A_2, $$ और $$ A_3 $$ वे घटनाएँ हैं जिनमें क्रमशः कलश A, B, और C को चुना जाता है।

माना $$ B $$ वह घटना है जिसमें एक काली गेंद निकाली जाती है।

हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि चुना गया कलश A है, दिया गया है कि एक काली गेंद निकाली गई है, जो कि $$ P(A_1|B) $$ है।

बेज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} $$

सबसे पहले, हम प्रत्येक पद की गणना अलग-अलग करते हैं:

1. किसी भी कलश को चुनने की प्रायिकता, क्योंकि उन्हें यादृच्छिक रूप से चुना जाता है:

$$ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} $$

2. प्रत्येक कलश से काली गेंद निकालने की प्रायिकता:

कलश A: $$ P(B|A_1) = \frac{5}{12} $$

कलश B: $$ P(B|A_2) = \frac{7}{12} $$

कलश C: $$ P(B|A_3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

3. काली गेंद निकालने की कुल प्रायिकता, $$ P(B) $$:

$$ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) $$

$$ P(B) = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{3} + \frac{7}{12} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} $$

$$ P(B) = \frac{5}{36} + \frac{7}{36} + \frac{6}{36} $$

$$ P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$

अब, इन्हें बेज़ प्रमेय में प्रतिस्थापित करें:

$$ P(A_1|B)= \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} $$

$$ P(A_1|B) = \frac{\frac{5}{12} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} $$

$$ P(A_1|B) = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{2}} $$

$$ P(A_1|B) = \frac{5}{18} $$

इसलिए, निकाली गई काली गेंद कलश A से होने की प्रायिकता विकल्प C है:

$$ \frac{5}{18} $$

Probability

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