इस समस्या को हल करने के लिए, हमें ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांतों और प्रतिक्षेप (rebound) के दौरान वस्तु के व्यवहार पर विचार करना होगा। आइए इसे चरण-दर-चरण समझते हैं:

1. जब वस्तु $$10 \mathrm{~m}$$ की ऊंचाई से गिरती है, तो यह टकराव के बिंदु पर अपनी स्थितिज ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित कर देती है। जमीन से टकराने से ठीक पहले स्थितिज ऊर्जा (PE) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$$PE = mgh$$

जहाँ:

$$m$$ वस्तु का द्रव्यमान है
$$g$$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है ($$9.8 \mathrm{~m/s^2}$$)
$$h$$ ऊंचाई है ($$10 \mathrm{~m}$$)

टकराव से ठीक पहले वस्तु की गतिज ऊर्जा (KE) उस स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है जो उसके पास $$10 \mathrm{~m}$$ की ऊंचाई पर थी, क्योंकि ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के कारण।

2. जमीन से टकराने पर, वस्तु अपनी गतिज ऊर्जा का $$50\%$$ खो देती है। इसलिए, टकराव के बाद गतिज ऊर्जा है:

$$KE_{after\ impact} = \frac{1}{2} KE_{before\ impact}$$

3. अब वस्तु एक ऐसी ऊंचाई तक प्रतिक्षेपित होगी जहाँ इसकी गतिज ऊर्जा वापस स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। मान लीजिए यह ऊंचाई $$h_{rebound}$$ है। इस प्रतिक्षेप ऊंचाई पर स्थितिज ऊर्जा है:

$$PE_{rebound} = mgh_{rebound}$$

चूंकि टकराव के बाद गतिज ऊर्जा $$\frac{1}{2} mgh$$ है, हम इसे प्रतिक्षेप ऊंचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखते हैं:

$$\frac{1}{2} mgh = mgh_{rebound}$$

द्रव्यमान $$m$$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $$g$$ को निरस्त करने पर, हमें मिलता है:

$$\frac{1}{2} h = h_{rebound}$$

$$h = 10 \mathrm{~m}$$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$\frac{1}{2} \times 10 \mathrm{~m} = h_{rebound}$$

$$h_{rebound} = 5 \mathrm{~m}$$

इसलिए, वह ऊंचाई जहाँ तक वस्तु जमीन से प्रतिक्षेपित हो सकती है, वह $$5 \mathrm{~m}$$ है। सही उत्तर है:

विकल्प D $$5 \mathrm{~m}$$

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