भूमि से समान प्रारंभिक चाल से लेकिन विभिन्न कोणों पर दागे गए दो प्रक्षेप्यों के उड्डयन काल का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:

प्रक्षेप्य कोण:

पहला प्रक्षेप्य $\theta_1 = 45^\circ + \alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है।

दूसरा प्रक्षेप्य $\theta_2 = 45^\circ - \alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है।

उड्डयन काल का सूत्र:

किसी प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल $T$ निम्न द्वारा दिया जाता है:

$ T = \frac{2v \sin \theta}{g} $

जहाँ $v$ प्रारंभिक चाल है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।

उड्डयन कालों का अनुपात:

उड्डयन कालों का अनुपात $\frac{T_1}{T_2}$ निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ - \alpha)} $

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग:

साइन योग और व्यवकलन सूत्रों का उपयोग करें:

$ \sin(45^\circ + \alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha) $

$ \sin(45^\circ - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha) $

अनुपात को सरल करना:

$\sin(45^\circ + \alpha)$ और $\sin(45^\circ - \alpha)$ के व्यंजकों को अनुपात में प्रतिस्थापित करें:

$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \alpha + \sin \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

स्पर्शज्या के रूप में व्यक्त करने के लिए त्रिकोणमितीय फलनों को गुणनखंडित करें:

$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} $

अतः, दोनों प्रक्षेप्यों के उड्डयन कालों का अनुपात $\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$ है।

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