दिया गया है कि एक प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास इसकी अधिकतम ऊँचाई की तीन गुनी है, हमें परास की व्यंजक $\frac{n u^2}{25 g}$ में $ n $ का मान निर्धारित करना है।

आइए प्रक्षेप्य की परास और अधिकतम ऊँचाई के लिए समीकरण स्थापित करें।

परास $ R $ का सूत्र है:

$ R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} $

अधिकतम ऊँचाई $ H_{\max} $ का सूत्र है:

$ H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} $

प्रश्न के अनुसार, परास $ R $ अधिकतम ऊँचाई $ H_{\max} $ की तीन गुनी है:

$ R = 3H_{\max} $

$ R $ और $ H_{\max} $ के सूत्रों को इस शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:

$ \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 3 \cdot \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} $

इस समीकरण को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$ 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta $

सर्वसमिका $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $ का उपयोग करते हुए, हम पुनः लिख सकते हैं:

$ 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta $

यह हमें देता है:

$ \sin 2\theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta $

दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर, यह मानते हुए कि $\sin \theta \neq 0$, हमारे पास है:

$ 2 \cos \theta = \frac{3}{2} \sin \theta $

$\tan \theta$ के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

$ \tan \theta = \frac{4}{3} $

इस प्रकार, कोण $\theta$ जहाँ $\tan \theta = \frac{4}{3}$ है, $\theta = 53^\circ$ के अनुरूप है।

अब, परास के सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

$ R = \frac{u^2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5}}{g} $

गणना से प्राप्त होता है:

$ R = \frac{24 u^2}{25 g} $

अतः, व्यंजक $\frac{n u^2}{25 g}$ में $ n $ का मान $ n = 24 $ है।

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