ine makes with the coordinate axes is given by:

$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $

Since $\beta = \gamma$, we substitute to get:

$ \cos^2 \alpha + 2 \cos^2 \beta = 1 $

Substitute $\cos \beta = \cos \gamma$:

$ \cos \alpha = 2 \cos^2 \beta - 1 $

Replacing back into the equation:

$ (2 \cos^2 \beta - 1)^2 + 2 \cos^2 \beta = 1 $

Simplify:

$ (2 \cos^2 \beta - 1)(2 \cos^2 \beta + 1) = 0 $

Solving for $\cos^2 \beta$, we have:

$ 2 \cos^2 \beta - 1 = 0 \quad \text{or} \quad 2 \cos^2 \beta + 1 = 0 $

The latter gives no real solutions, thus:

$ \cos^2 \beta = \frac{1}{2} $

Therefore, $\beta = \frac{\pi}{4}$ or $\beta = \frac{\pi}{2}$.

Thus, the sum of all possible values of $\beta$ is:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $

19:T78c,

दिया गया:

रेखा द्वारा धनात्मक x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण को α मानते हुए, β व γ कोण α के आधे हैं, अर्थात् $ \beta = \gamma = \frac{\alpha}{2} $।

सामनांत निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोणों के दिशा कोसाइन के लिए समीकरण इस प्रकार है:

$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $

चूँकि $ \beta = \gamma $, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:

$ \cos^2 \alpha + 2 \cos^2 \beta = 1 $

अब $ \cos \beta = \cos \gamma $ को प्रतिस्थापित करने पर हमें:

$ \cos \alpha = 2 \cos^2 \beta - 1 $

इसे पुनः मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

$ (2 \cos^2 \beta -

3d Geometry

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