एक लंबे सीधे तार की अक्ष से $$\frac{a}{2}$$ और $$2a$$ दूरियों पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम ऐम्पियर के नियम का उपयोग करते हैं, जो धारावाही चालक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र को उसके द्वारा घिरी धारा से संबंधित करता है।

ऐम्पियर का नियम इस प्रकार दिया जाता है:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

जहाँ:

$$\vec{B}$$ चुंबकीय क्षेत्र है,

$$\mu_0$$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,

$$I_{\text{enc}}$$ घिरी हुई धारा है।

तार के अंदर एक बिंदु के लिए (त्रिज्या $$r=a/2$$ पर):

त्रिज्या $$r$$ द्वारा घिरी धारा त्रिज्या $$r$$ पर अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है।

त्रिज्या $$r$$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:

$$\pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

कुल धारा $$I$$ समान रूप से वितरित है, इस प्रकार त्रिज्या $$r = \frac{a}{2}$$ पर घिरी धारा $$I_{\text{enc}}$$ है:

$$I_{\text{enc}} = I \times \frac{\text{घिरा हुआ क्षेत्रफल}}{\text{कुल क्षेत्रफल}} = I \times \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\pi a^2} = \frac{I}{4}$$

चालक के अंदर ऐम्पियर के नियम को लागू करने पर, हमें मिलता है:

$$B \cdot 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right) = \mu_0 \left( \frac{I}{4} \right)$$

अतः,

$$B \cdot \pi a = \frac{\mu_0 I}{4}$$

इसलिए, तार के अंदर $$r = \frac{a}{2}$$ पर चुंबकीय क्षेत्र है:

$$B_{\frac{a}{2}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$$

तार के बाहर एक बिंदु के लिए (त्रिज्या $$r = 2a$$ पर):

त्रिज्या $$r = 2a$$ द्वारा घिरी कुल धारा संपूर्ण धारा $$I$$ है।

चालक के बाहर ऐम्पियर के नियम को लागू करने पर, हमें मिलता है:

$$B \cdot 2 \pi (2a) = \mu_0 I$$

अतः,

$$B \cdot 4 \pi a = \mu_0 I$$

इसलिए, तार के बाहर $$r = 2a$$ पर चुंबकीय क्षेत्र है:

$$B_{2a} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$$

अतः, $$\frac{a}{2}$$ और $$2a$$ पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात है:

$$\frac{B_{\frac{a}{2}}}{B_{2a}} = \frac{\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}}{\frac{\mu_0 I}{4 \pi a}} = 1:1$$

अतः, सही विकल्प है:

विकल्प C: $$1:1$$

Magnetics

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