गतिज घर्षण गुणांक निर्धारित करने के लिए, आइए वस्तु द्वारा प्रत्येक तल पर फिसलने में लिए गए समय का विश्लेषण करें और दोनों परिदृश्यों के लिए गति के समीकरणों का उपयोग करें।

पहले, पूर्णतः चिकने $$45^{\circ}$$ आनत तल (बिना घर्षण) पर विचार करें। इस तल पर वस्तु का त्वरण आनत के समानांतर गुरुत्वीय बल के घटक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। चूंकि कोई घर्षण नहीं है, इसलिए तल के नीचे की ओर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वीय बल का घटक है:

$$ a_{\text{smooth}} = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}} $$

मान लें कि इस चिकने तल पर फिसलने में लगा समय $$t_{\text{smooth}}$$ है। वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $$d$$ को गति के समीकरण का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$$ d = \frac{1}{2} a_{\text{smooth}} t_{\text{smooth}}^2 = \frac{1}{2} \frac{g}{\sqrt{2}} t_{\text{smooth}}^2 $$

अब, खुरदरे $$45^{\circ}$$ आनत तल पर विचार करें। खुरदरे तल पर नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय बल के घटक और गतिज घर्षण बल दोनों पर विचार करके ज्ञात किया जा सकता है। यहाँ, घर्षण बल $$f_k = \mu_k N$$ है, जहाँ $$N = mg \cos 45^\circ = \frac{mg}{\sqrt{2}}$$। इस प्रकार घर्षण बल है:

$$ f_k = \mu_k \cdot \frac{mg}{\sqrt{2}} $$

तल के नीचे की ओर वस्तु पर कार्यरत नेट बल होगा:

$$ F_{\text{net}} = mg \sin 45^{\circ} - f_k = \frac{mg}{\sqrt{2}} - \mu_k \cdot \frac{mg}{\sqrt{2}} $$

अतः नेट त्वरण $$a_{\text{rough}}$$ है:

$$ a_{\text{rough}} = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{g}{\sqrt{2}} - \mu_k \cdot \frac{g}{\sqrt{2}} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - \mu_k) $$

खुरदरे तल पर फिसलने में लगा समय $$nt_{\text{smooth}}$$ दिया गया है। अतः, दूरी $$d$$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ d = \frac{1}{2} a_{\text{rough}} (nt_{\text{smooth}})^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{g}{\sqrt{2}} (1 - \mu_k)\right) (nt_{\text{smooth}})^2 $$

दोनों स्थितियों के लिए दूरियों को बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \frac{1}{2} \frac{g}{\sqrt{2}} t_{\text{smooth}}^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{g}{\sqrt{2}} (1 - \mu_k)\right) (nt_{\text{smooth}})^2 $$

सरलीकरण करने पर, हम पाते हैं:

$$ t_{\text{smooth}}^2 = (1 - \mu_k) n^2 t_{\text{smooth}}^2 $$

इसलिए:

$$ 1 = (1 - \mu_k) n^2 $$

$$\mu_k$$ के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \mu_k = 1 - \frac{1}{n^2} $$

इस प्रकार, वस्तु और आनत तल की सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक है:

विकल्प A: $$1 - \frac{1}{\mathrm{n}^2}$$

Laws Of Motion

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