प्रक्षेपण कोण $\theta$ को हल करने के लिए, हम पहले दिए गए चरों के बीच संबंध स्थापित करेंगे और फिर गतिकी का उपयोग करके सूत्र व्युत्पन्न करेंगे।

त्रिज्या $R$ के वृत्त में चाल $v$ से एक चक्कर के लिए समय $T$ वृत्त की परिधि से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:

$$ v = \frac{2\pi R}{T} $$

जब कण को समान चाल $v$ से क्षैतिज से कोण $\theta$ पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसके वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y=v\sin\theta$ द्वारा दिया जाता है।

प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$ गतिकी समीकरण से ज्ञात की जा सकती है:

$$ H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(v\sin\theta)^2}{2g} $$

हमें दिया गया है कि प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$, $4R$ के बराबर है, अतः:

$$ 4R = \frac{(v\sin\theta)^2}{2g} $$

पहले समीकरण से $v$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

$$ 4R = \frac{((\frac{2\pi R}{T})\sin\theta)^2}{2g} $$

$$ 4R = \frac{(2\pi R\sin\theta)^2}{2gT^2} $$

$$ 4R = \frac{4\pi^2 R^2 \sin^2\theta}{2gT^2} $$

$$ 2gT^2 = \pi^2 R \sin^2\theta $$

अब $\sin\theta$ को हल करें:

$$ \sin\theta =\left[\frac{2gT^2}{\pi^2 R}\right]^{1/2} $$

अंत में, $\theta$ को हल करने के लिए, दोनों पक्षों का प्रतिलोम साइन लें:

$$ \theta = \sin^{-1}\left(\left[\frac{2gT^2}{\pi^2 R}\right]^{1/2}\right) $$

इसलिए, सही उत्तर है:

विकल्प A

$$ \sin^{-1}\left[\frac{2gT^2}{\pi^2 R}\right]^{1/2} $$

Circular Motion

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