$$\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2-(x^2-1)}=x+\sqrt{x^2-1}$$

So the equation becomes:

$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x+\sqrt{x^2-1}$$

This is a linear differential equation with integrating factor (I.F.):

I.f $= e^{\ln x}=x$

Multiply the whole equation by $x$:

$$y.x=\int \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)x\,dx$$

Now integrate term by term:

$$=\frac{x^2}{2}+\frac{\left(x^2-1\right)^{3/2}}{3}+C$$

Use the initial condition $y(1)=1$ to find $C$.

Given $y(1)=1$

Substitute $x=1$ in the expression for $yx$:

$$1=\frac{1}{2}+C \rightarrow C=\frac{1}{2}$$

So,

$$yx=\frac{x^2}{2}+\frac{(x^2-1)^{3/2}}{3}+\frac{1}{2}$$

Divide by $x$:

$$y=\frac{x}{2}+\frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x}+\frac{1}{2x}$$

Now put $x=\sqrt{5}$:

$$\left[y\left(\sqrt{5}\right)\right]=\left[\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{8}{3}+\frac{1}{2\sqrt{5}}\right]=3$$

19:T6d0,

सबसे पहले दिए गए अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप में लिखें।

$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}$$

अब परिमेयीकरण करके दाएँ पक्ष को सरल करें:

$$\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2-(x^2-1)}=x+\sqrt{x^2-1}$$

इसलिए समीकरण बन जाता है:

$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x+\sqrt{x^2-1}$$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक (I.F.) है:

I.F. $= e^{\ln x}=x$

पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करें:

$$y.x=\int \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)x\,dx$$

अब प्रत्येक पद का समाकलन करें:

$$=\frac{x^2}{2}+\frac{\left(x^2-1\

Differential Equations

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