उपग्रह का आवर्तकाल ज्ञात करने के लिए, हम केप्लर के तृतीय नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो कहता है कि कक्षीय आवर्तकाल का वर्ग, कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$\frac{T^2}{R^3} = \text{constant}$$

हम समस्या को चरण-दर-चरण इस प्रकार हल करते हैं:

माना:

पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी $$R_{\text{moon}}$$ है।

चंद्रमा का कक्षीय आवर्तकाल $$T_{\text{moon}} = 27$$ दिन है।

उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $$R_{\text{sat}} = \frac{R_{\text{moon}}}{9}$$ है (क्योंकि यह 9 गुना नजदीक है)।

दोनों कक्षाओं के लिए केप्लर के नियम के अनुसार, हमारे पास है:

$$\frac{T_{\text{sat}}^2}{R_{\text{sat}}^3} = \frac{T_{\text{moon}}^2}{R_{\text{moon}}^3}$$

$$R_{\text{sat}}$$ को प्रतिस्थापित करें:

$$\frac{T_{\text{sat}}^2}{\left(\frac{R_{\text{moon}}}{9}\right)^3} = \frac{27^2}{R_{\text{moon}}^3}$$

बाईं ओर को सरल करें, यह ध्यान में रखते हुए कि:

$$\left(\frac{R_{\text{moon}}}{9}\right)^3 = \frac{R_{\text{moon}}^3}{9^3} = \frac{R_{\text{moon}}^3}{729}$$

तो समीकरण बन जाता है:

$$\frac{T_{\text{sat}}^2}{\frac{R_{\text{moon}}^3}{729}} = \frac{27^2}{R_{\text{moon}}^3}$$

दोनों पक्षों को $$\frac{R_{\text{moon}}^3}{729}$$ से गुणा करें:

$$T_{\text{sat}}^2 = 27^2 \times \frac{1}{729}$$

यह पहचानें कि $$27^2 = 729$$:

$$T_{\text{sat}}^2 = \frac{729}{729} = 1$$

वर्गमूल लें:

$$T_{\text{sat}} = 1 \text{ day}$$

इस प्रकार, उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल 1 दिन है, जो विकल्प D: 1 day से संगत है।

Gravitation

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