पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे उपग्रह को ऊर्जा प्रदान करने के बाद कक्षा की नई त्रिज्या निर्धारित करने के लिए, हमें उपग्रह की प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जाओं की तुलना करने की आवश्यकता है। हम वृत्तीय कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा (गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग) के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे:

पृथ्वी के केंद्र से $$r$$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे द्रव्यमान $$m$$ के उपग्रह की कुल ऊर्जा, $$E$$, निम्न द्वारा दी जाती है:

$$ E = -\frac{GMm}{2r} $$

जहाँ:

$$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है
$$M$$ पृथ्वी का द्रव्यमान है
$$r$$ कक्षा की त्रिज्या है

दिया गया है, कक्षा की प्रारंभिक त्रिज्या $$2R$$ है। इसलिए, प्रारंभिक कुल ऊर्जा $$E_i$$ है:

$$ E_i = -\frac{GMm}{2 \times 2R} = -\frac{GMm}{4R} $$

अब, उपग्रह को प्रदान की गई ऊर्जा $$\frac{10^4 R}{6} \mathrm{~J}$$ दी गई है। नई कुल ऊर्जा $$E_f$$ प्रारंभिक ऊर्जा और प्रदान की गई ऊर्जा का योग होगी:

$$ E_f = E_i + \text{प्रदान की गई ऊर्जा} $$

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$$ E_f = -\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6} $$

नई कक्षा त्रिज्या $$r_f$$ के लिए अंतिम ऊर्जा सूत्र प्रारंभिक ऊर्जा सूत्र के समान है:

$$ E_f = -\frac{GMm}{2r_f} $$

$$E_f$$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ -\frac{GMm}{2r_f} = -\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6} $$

$$r_f$$ के लिए हल करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

$$ \frac{GMm}{2r_f} = \frac{GMm}{4R} - \frac{10^4 R}{6} $$

चूँकि $$GMm = gR^2 m$$ (गुरुत्वीय त्वरण $$g$$ और पृथ्वी की त्रिज्या $$R$$ का उपयोग करते हुए), हम व्यंजक को सरल बनाने के लिए इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$$ \frac{gR^2 m}{2r_f} = \frac{gR^2 m}{4R} - \frac{10^4 R}{6} $$

सामान्य पदों को निरस्त करके और पुनर्व्यवस्थित करके:

$$ \frac{1}{2r_f} = \frac{1}{4R} - \frac{10^4 R}{6gR^2 m} $$

याद रखें कि $$g = 10 \mathrm{~m/s^2}$$ और उपग्रह का द्रव्यमान $$m = 10^3 \mathrm{~kg}$$:

$$ \frac{1}{2r_f} = \frac{1}{4R} - \frac{10^4 \times R}{6 \times 10 \times R^2 \times 10^3} $$

दूसरे पद को और सरल बनाते हुए:

$$ \frac{10^4 \times R}{60 \times R^2 \times 10^3} = \frac{10 \times R}{60 \times R^2} = \frac{1}{6R} $$

अतः, अंतिम समीकरण बनता है:

$$ \frac{1}{2r_f} = \frac{1}{4R} - \frac{1}{6R} $$

दाहिनी ओर के लिए सामान्य हर ज्ञात करने पर:

$$ \frac{1}{2r_f} = \frac{3 - 2}{12R} = \frac{1}{12R} $$

इसलिए:

$$ 2r_f = 12R $$

अतः:

$$ r_f = 6R $$

अतः, वृत्तीय कक्षा की नई त्रिज्या 6R है।

सही उत्तर है:

विकल्प B: 6R

Gravitation

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