आइए समस्या को चरण-दर-चरण हल करें।

एक रेडियोधर्मी नाभिक के क्षय को सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t},$$

जहाँ:

$N(t)$ समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या है,

$N_0$ प्रारंभिक नाभिकों की संख्या है,

$\lambda$ क्षय नियतांक है।

क्षय नियतांक $\lambda_1$ वाले नाभिक $n_1$ के लिए, इसकी अर्ध-आयु $t_{1/2}$ है:

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda_1}.$$

$n_1$ की एक अर्ध-आयु के बाद, शेष $n_1$ नाभिकों की संख्या है:

$$N_1 = N_0 \, e^{-\lambda_1 \, t_{1/2}} = N_0 \, e^{-\lambda_1 \, \frac{\ln2}{\lambda_1}} = N_0 \, e^{-\ln2} = \frac{N_0}{2}.$$

नाभिक $n_2$ का क्षय नियतांक $n_1$ के क्षय नियतांक का 3 गुना है:

$$\lambda_2 = 3\lambda_1.$$

नाभिक $n_2$ के लिए, $n_1$ की एक अर्ध-आयु (जो कि $t = \frac{\ln2}{\lambda_1}$ है) के बाद शेष नाभिकों की संख्या है:

$ N_2 = N_0 \, e^{-\lambda_2 \, t} = N_0\, e^{-3\lambda_1 \, \frac{\ln2}{\lambda_1}} = N_0 \, e^{-3\ln2} = N_0 \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{N_0}{8}. $

अब, हम इस समय के बाद $n_1$ नाभिकों के सापेक्ष $n_2$ नाभिकों का अनुपात ज्ञात करते हैं:

$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{\frac{N_0}{8}}{\frac{N_0}{2}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}. $

इसलिए, सही अनुपात $\frac{1}{4}$ है, जो विकल्प A के अनुरूप है।

Atoms And Nuclei

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