आइए समस्या को चरण दर चरण हल करें:

दो ब्लॉक हैं क्योंकि सभी लड़कियों को एक साथ खड़ा होना चाहिए और सभी लड़कों को एक साथ खड़ा होना चाहिए। दोनों ब्लॉकों को निम्न प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$2 \text{ तरीके} \quad \text{(अर्थात्, पहले लड़कियाँ फिर लड़के, या पहले लड़के फिर लड़कियाँ).}$$

लड़कियों को आपस में निम्न प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$3! = 6 \text{ तरीके.}$$

लड़कों के लिए (कुल 4), उन्हें इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना चाहिए कि विशिष्ट लड़के $B_1$ और $B_2$ आसन्न न हों।

पहले, 4 लड़कों की व्यवस्थाओं की कुल संख्या की गणना करें:

$$4! = 24.$$

अब, उन व्यवस्थाओं की गणना करें जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न हैं। $B_1$ और $B_2$ को एक इकाई मानें। इस इकाई को निम्न प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$2! = 2 \text{ तरीके (क्योंकि }B_1\text{ और }B_2\text{ अपनी स्थिति बदल सकते हैं).}$$

अब, इस नई इकाई के साथ, हमारे पास कुल 3 इकाइयाँ हैं ($B_1B_2$ इकाई और अन्य 2 लड़के), जिन्हें निम्न प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$3! = 6 \text{ तरीके.}$$

अतः, उन व्यवस्थाओं की संख्या जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न हैं:

$$2! \times 3! = 2 \times 6 = 12.$$

इसलिए, लड़कों के लिए मान्य व्यवस्थाओं की संख्या जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न नहीं हैं:

$$24 - 12 = 12.$$

अंत में, सभी गुणनखंडों को एक साथ गुणा करें:

$$\text{कुल तरीके} = 2 \times 6 \times 12 = 144.$$

इस प्रकार, दी गई शर्तों के अंतर्गत लड़कियाँ और लड़के पंक्ति में खड़े हो सकते हैं, इसके तरीकों की संख्या $$\boxed{144}$$ है।

यह विकल्प D से मेल खाता है।

Permutations And Combinations

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