$$ \textbf{चरण 1: कुल फलन जहाँ } 1 \in f(A) $$

कोई भी फलन $ f: A \to B $ जहाँ $ A = \{1, 2, 3, 4\} $ और $ B = \{1, 4, 9, 16\} $ को $ A $ के प्रत्येक अवयव के लिए $ B $ के चार अवयवों में से एक को चुनकर परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, फलनों की कुल संख्या है

$$ 4^4 = 256. $$

उन फलनों को गिनने के लिए जहाँ $ 1 $ समुच्चय $ f(A) $ में कम से कम एक बार प्रकट होता है, हम पूरक गणना विधि का उपयोग कर सकते हैं: उन फलनों को घटाएं जो कभी $ 1 $ का उपयोग नहीं करते। यदि $ 1 $ को बाहर रखा जाता है, तो $ A $ के प्रत्येक अवयव के पास केवल 3 विकल्प हैं (अर्थात्, $ \{4, 9, 16\} $), इसलिए ऐसे फलनों की संख्या है

$$ 3^4 = 81. $$

इस प्रकार, फलनों की संख्या जहाँ $ 1 \in f(A) $ है

$$ 256 - 81 = 175. $$

$$ \textbf{चरण 2: बहु-एक फलनों की गणना} $$

इस संदर्भ में, "बहु-एक फलन" को अ-एकैकी फलन के रूप में समझा जाता है। चूंकि $ A $ से $ B $ तक एक एकैकी (एक-एक) फलन एक क्रमचय होना चाहिए (क्योंकि दोनों समुच्चयों में 4 अवयव हैं), एक-एक फलनों की संख्या है

$$ 4! = 24. $$

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक एकैकी फलन $ f: A \to B $ के लिए $ f(A) = B $ (एक पूर्ण क्रमचय) होता है जिसका अर्थ स्वतः ही $ 1 \in f(A) $ होता है।

इस प्रकार, बहु-एक (अ-एकैकी) फलनों $ f: A \to B $ की संख्या जहाँ $ 1 \in f(A) $ है, उन कुल फलनों से एक-एक फलनों को घटाकर प्राप्त की जाती है जिनमें $ 1 $ शामिल है:

$$ 175 - 24 = 151. $$

$$ \boxed{151} $$

यह विस्तृत व्याख्या दर्शाती है कि बहु-एक फलनों $ f: A \rightarrow B $ की संख्या जहाँ $ 1 \in f(A) $ है, वास्तव में $ 151 $ है।

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