फलन $$f(\theta)=\frac{\sin ^4 \theta+3 \cos ^2 \theta}{\sin ^4 \theta+\cos ^2 \theta}$$ का परिसर निर्धारित करने के लिए, आइए व्यंजक को सरल करके शुरू करें। माना $$\sin^2 \theta = x$$, तो $$\cos^2 \theta = 1 - x$$। फलन तब रूपांतरित होता है:

$$ f(x) = \frac{x^2 + 3(1-x)}{x^2 + (1-x)} $$

अंश और हर को अलग-अलग सरल करें:

अंश: $$ x^2 + 3 - 3x $$

हर: $$ x^2 + 1 - x $$

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

$$ f(x) = \frac{x^2 + 3 - 3x}{x^2 + 1 - x} = \frac{x^2 - 3x + 3}{x^2 - x + 1} $$

अब, हमें इस फलन का परिसर ज्ञात करना है। आइए अंतराल $$[0, 1]$$ में $$x$$ के विशिष्ट मानों का परीक्षण करके फलन का विश्लेषण करें (क्योंकि $$\sin^2 \theta$$ 0 से 1 तक होता है):

जब $$x = 0$$:

$$ f(0) = \frac{0^2 - 3(0) + 3}{0^2 - 0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 $$

जब $$x = 1$$:

$$ f(1) = \frac{1^2 - 3(1) + 3}{1^2 - 1 + 1} = \frac{1 - 3 + 3}{1 - 1 + 1} = \frac{1}{1} = 1 $$

ऐसा प्रतीत होता है कि $$f(x)$$ मान $$[1, 3]$$ के भीतर प्राप्त करता है। इसकी पुष्टि करने के लिए, हमें द्विघात असमिका को हल करना होगा:

$$ 1 \leq \frac{x^2 - 3x + 3}{x^2 - x + 1} \leq 3 $$

असमिकाओं को हल करने पर, यह पुष्टि की जा सकती है कि फलन वास्तव में अंतराल [0,1] पर 1 से 3 तक होता है। अतः, हमारे पास है:

$$ \alpha = 1 $$

$$ \beta = 3 $$

अनंत गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात है:

$$ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{3} $$

दिया गया प्रथम पद $a = 64$ है, अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल $S$ इस प्रकार दिया जा सकता है:

$$ S = \frac{a}{1 - r} $$

मान $a = 64$ और $r = \frac{1}{3}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$ S = \frac{64}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{64}{\frac{2}{3}} = 64 \times \frac{3}{2} = 96 $$

अतः, अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल 96 है।

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