इस समस्या को हल करने के लिए, हमें कंपन करने वाली तार की आवृत्ति और उस पर लगाए गए तनाव के बीच संबंध का उपयोग करना होगा। जब एक स्वरित्र द्विभुज सोनोमीटर तार के साथ अनुनादित होता है, तो उनकी आवृत्तियाँ समान होती हैं।

कंपन करने वाली तार की आवृत्ति निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

जहाँ:

$ f $ कंपन की आवृत्ति है

$ L $ तार की लंबाई है

$ T $ तार में तनाव है

$ \mu $ तार का रेखीय द्रव्यमान घनत्व है

तार का रेखीय द्रव्यमान घनत्व ($ \mu $) स्थिर रहता है।

प्रारंभ में, जब तार स्वरित्र द्विभुज के साथ अनुनादित होती है, दोनों की आवृत्ति निम्न द्वारा दी जाती है:

$f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$

यहाँ $ T_1 = 6 \mathrm{~N} $ और $ L = 1 \mathrm{~m} $ है, इसलिए हमारे पास है:

$f_1 = \frac{1}{2 \cdot 1} \sqrt{\frac{6}{\mu}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{6}{\mu}}$

अब, जब तनाव को $ T_2 = 54 \mathrm{~N} $ में बदल दिया जाता है, तो तार की आवृत्ति $ f_2 $ में बदल जाती है और यह निम्न द्वारा दी जाती है:

$f_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$

चूँकि $ L $ और $ \mu $ समान रहते हैं, $ T_2 $ को प्रतिस्थापित करने पर:

$f_2 = \frac{1}{2 \cdot 1} \sqrt{\frac{54}{\mu}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{54}{\mu}}$

ध्यान दें कि $ 54 = 6 \times 9 $, इसलिए:

$f_2 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{6 \times 9}{\mu}} = \frac{1}{2} \sqrt{9} \sqrt{\frac{6}{\mu}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{6}{\mu}} = 3 f_1$

जब तनाव बढ़ाया गया, तो आवृत्ति मूल आवृत्ति की तीन गुनी हो गई।

चूँकि तार का दूसरा उदाहरण प्रति सेकंड 12 विस्पंद उत्पन्न करता है, इसका अर्थ है कि स्वरित्र द्विभुज (और मूल तार) की आवृत्ति और नई आवृत्ति (उच्च तनाव वाली तार की) में 12 Hz का अंतर है। यदि $ f_F $ स्वरित्र द्विभुज की आवृत्ति है, तो:

या तो $ f_2 = f_F + 12 $ Hz या $ f_2 = f_F - 12 $ Hz।

चूँकि हमने निर्धारित किया है कि $ f_2 = 3 f_1 $ और $ f_1 = f_F $, हम कह सकते हैं:

या तो $ 3f_F = f_F + 12 $ या $ 3f_F = f_F - 12 $।

यदि $ 3f_F = f_F - 12 $, तो:

$3f_F - f_F = -12$

$2f_F = -12$

यह परिणाम संभव नहीं है क्योंकि आवृत्ति ऋणात्मक नहीं हो सकती।

इसलिए, हमें सही समीकरण पर विचार करना चाहिए जो है:

$f_2 = f_F + 12$

अब, $ f_2 = 3f_F $ को प्रतिस्थापित करने पर:

$3f_F = f_F + 12$

$2f_F = 12$

$f_F = 6 \text{ Hz}$

इस प्रकार, स्वरित्र द्विभुज की आवृत्ति 6 Hz है।

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