तार की सामग्री की प्रतिरोधकता में प्रतिशत त्रुटि की गणना करने के लिए, हमें प्रतिरोधकता के सूत्र को समझने की आवश्यकता है। तार की प्रतिरोधकता $$ \rho $$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$\rho = \frac{RA}{l}$

जहाँ:

$$ R $$ प्रतिरोध है

$$ A $$ तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है

$$ l $$ तार की लंबाई है

त्रिज्या $$ r $$ वाले तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $$ A $$ है:

$A = \pi r^2$

हम इसे प्रतिरोधकता के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$\rho = \frac{R \pi r^2}{l}$

अब, प्रतिरोधकता में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए, हमें $$ R $$, $$ r $$, और $$ l $$ में प्रतिशत त्रुटियाँ ज्ञात करनी होंगी और फिर त्रुटियों को संयोजित करने के लिए निम्नलिखित नियम का उपयोग करना होगा:

किसी दिए गए फलन के लिए, $$ f = f(x,y,z,...) $$, जहाँ $$ x, y, z,... $$ संभावित त्रुटियों के साथ मापी गई राशियाँ हैं, $$ f $$ में प्रतिशत त्रुटि, जिसे $$ (\delta f)_{\%} $$ से निरूपित किया जाता है, इनपुट राशियों की सापेक्ष प्रतिशत त्रुटियों को जोड़कर अनुमानित की जा सकती है। यदि $$ f $$ हमारे मामले में मापी गई राशियों के गुणनफल और भागफल के रूप में है ($$ \rho = \frac{R \pi r^2}{l} $$), तो $$ f $$ में प्रतिशत त्रुटि निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$(\delta f)_{\%} = (\delta x)_{\%} + (\delta y)_{\%} + (\delta z)_{\%} + ...$

जहाँ $$ (\delta x)_{\%} $$, $$ (\delta y)_{\%} $$, और $$ (\delta z)_{\%} $$ क्रमशः प्रत्येक मापी गई राशि $$ x, y, z, ... $$ में प्रतिशत त्रुटियाँ हैं।

हमारे मामले के लिए:

त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $$ (\delta r)_{\%} $$ औसत त्रिज्या द्वारा $$ r $$ में त्रुटि को विभाजित करके और फिर 100 से गुणा करके दी जाती है:

$(\delta r)_{\%} = \left(\frac{0.05}{0.35}\right) \times 100$

प्रतिरोध में प्रतिशत त्रुटि $$ (\delta R)_{\%} $$ है:

$(\delta R)_{\%} = \left(\frac{10}{100}\right) \times 100$

लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $$ (\delta l)_{\%} $$ है:

$(\delta l)_{\%} = \left(\frac{0.2}{15}\right) \times 100$

अब आइए प्रत्येक की गणना करें:

$(\delta r)_{\%} = \left(\frac{0.05}{0.35}\right) \times 100 \approx 14.29\%$

$(\delta R)_{\%} = \left(\frac{10}{100}\right) \times 100 = 10\%$

$(\delta l)_{\%} = \left(\frac{0.2}{15}\right) \times 100 \approx 1.33\%$

हालांकि, चूंकि क्षेत्रफल $$ A $$, $$ r^2 $$ के समानुपाती है, इसलिए $$ A $$ में प्रतिशत त्रुटि $$ r $$ में प्रतिशत त्रुटि की दोगुनी होगी। इस प्रकार:

$(\delta A)_{\%} = 2 \times (\delta r)_{\%} = 2 \times 14.29\% \approx 28.58\%$

अंत में, हम प्रतिरोधकता में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए प्रतिशत त्रुटियों को जोड़ते हैं:

$(\delta \rho)_{\%} = (\delta R)_{\%} + (\delta A)_{\%} + (\delta l)_{\%}$

$(\delta \rho)_{\%} = 10\% + 28.58\% + 1.33\% \approx 39.91\%$

यह गणना हमें 39.91% के करीब एक मान देती है, जिसका अर्थ है कि सही विकल्प इस मान के सबसे निकट है। इस प्रकार, सर्वोत्तम उत्तर है:

विकल्प D $39.9\%$

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