दिए गए प्रश्न से $ \alpha $ का मान ज्ञात करने के लिए, हमें एक वृत्ताकार चकती की गति का विश्लेषण करना होगा जो एक आनत तल पर दो विभिन्न प्रकारों में नीचे जा रही है: फिसलना और लुढ़कना।

फिसलना:

जब चकती बिना लुढ़के फिसलती है, तो यह मुख्य रूप से गतिज घर्षण और गुरुत्वाकर्षण के अधीन होती है, बिना किसी लुढ़कने वाले घर्षण या बल आघूर्ण के जो घूर्णन गति को प्रभावित करे। इस गति को पूर्णतः स्थानांतरीय माना जा सकता है।

फिसलने की अवस्था में समय का समीकरण:

फिसलते समय चकती का त्वरण $ a $ इस प्रकार दिया जाता है:

$a = g \sin \theta$

जहाँ $ g $ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और $ \theta $ आनत तल का कोण है।

विरामावस्था से इस त्वरण के साथ लंबाई $ l $ के आनत तल पर नीचे जाने में लगा समय $ t $ है:

$l = \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}}$

लुढ़कना:

जब चकती लुढ़कती है, तो स्थानांतरीय और घूर्णन दोनों गतियाँ शामिल होती हैं, और लुढ़कने की गति का अर्थ है कि एक घूर्णन जड़त्व कारक है जो त्वरण को प्रभावित करता है।

लुढ़कने की अवस्था में समय का समीकरण:

एक ठोस चकती के लिए, जड़त्व आघूर्ण $ I $ है $ \frac{1}{2} MR^2 $, जहाँ $ M $ द्रव्यमान है और $ R $ चकती की त्रिज्या है। बिना फिसले लुढ़कते हुए नीचे जाने पर त्वरण $ a $ घूर्णन जड़त्व के कारण कम हो जाता है:

$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2g \sin \theta}{3}$

समान दूरी $ l $ तय करने में लगा समय है:

$t_{\text{roll}} = \sqrt{\frac{2l}{a_{\text{roll}}}} = \sqrt{\frac{2l}{\frac{2g \sin \theta}{3}}} = \sqrt{\frac{3l}{g \sin \theta}}$

समयों की तुलना:

प्रश्न में दिया गया संबंध है:

$t_{\text{roll}} = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{1/2} t$

व्युत्पन्न सूत्रों से:

$\sqrt{\frac{3l}{g \sin \theta}} = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{1/2} \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}}$

$ \alpha $ के लिए हल करने पर:

$\sqrt{3} = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{1/2} \sqrt{2}$

$3 = \frac{\alpha}{2} \times 2$

$3 = \alpha$

निष्कर्ष:

इस प्रकार, $ \alpha $ का मान 3 है।

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