कण के त्वरण को ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले वेग फलन का समय के सापेक्ष अवकलन करना होगा। दिया गया वेग फलन है

$$ v = 4\sqrt{x} $$

हालांकि, यह फलन वेग को स्थिति $x$ के फलन के रूप में देता है, समय $t$ के फलन के रूप में नहीं। चूंकि त्वरण समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर है, इसलिए हमें $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करना होगा।

इस संदर्भ में श्रृंखला नियम को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$

अब, चूंकि $\frac{dx}{dt}$ स्वयं वेग $v$ है और $\frac{dv}{dx}$ वेग का $x$ के सापेक्ष अवकलज है, इसलिए हम पहले $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करते हैं:

$$ v = 4\sqrt{x} = 4x^{\frac{1}{2}} $$

$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \frac{dv}{dx} = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} $$

अब, चूंकि $v = 4\sqrt{x}$, इसलिए हम $\sqrt{x}$ को $\frac{v}{4}$ के रूप में पुनः लिख सकते हैं। $\frac{dv}{dx}$ के लिए हमारे व्यंजक में $\sqrt{x}$ को प्रतिस्थापित करने के लिए इसका उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$ \frac{dv}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\frac{v}{4}} = \frac{8}{v} $$

अब, श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:

$$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{8}{v} \cdot v $$

इसे सरल करने पर, वेग के पद निरस्त हो जाते हैं, जिससे हमें प्राप्त होता है:

$$ a = 8 \text{ ms}^{-2} $$

इस प्रकार, कण का त्वरण $8 \text{ ms}^{-2}$ है।

Motion In A Straight Line

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