सबसे पहले, हमें बताया गया है कि एक रुद्धोष्म प्रक्रम (adiabatic process) के दौरान, गैस का दाब $P$ इसके परम ताप $T$ के घन के सीधे समानुपाती होता है, अर्थात्, $P \propto T^3$। इससे, हम संबंध को $P = kT^3$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ $k$ एक नियतांक है।

एक रुद्धोष्म प्रक्रम में, $PV^\gamma = \text{नियतांक}$, जहाँ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$, $P$ दाब है, $V$ आयतन है, $C_P$ नियत दाब पर ऊष्मा धारिता है, और $C_V$ नियत आयतन पर ऊष्मा धारिता है।

इसके अलावा, आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है, जहाँ $n$ पदार्थ की मात्रा है, $R$ आदर्श गैस नियतांक है, और $T$ परम ताप है। इसे $T$ और $V$ के पदों में $P$ व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप $P = \frac{nRT}{V}$ प्राप्त होता है।

दिया गया है कि $P = kT^3$, हम इसे आदर्श गैस नियम से प्राप्त व्यंजक के साथ समीकृत कर सकते हैं: $\frac{nRT}{V} = kT^3$। सरल करने पर, हमें $V = \frac{nR}{kT^2}$ मिलता है, जो दर्शाता है कि $V$, $T^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है।

अब, आइए रुद्धोष्म प्रतिबंध $PV^\gamma = \text{नियतांक}$ को याद करें। समानुपातों $P \propto T^3$ और $V \propto T^{-2}$ को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, यह $T^3(T^{-2})^\gamma = \text{नियतांक}$ बन जाता है, जो सरलीकृत होकर $T^{3-2\gamma} = \text{नियतांक}$ हो जाता है।

व्यंजक $T^{3-2\gamma} = \text{नियतांक}$ के एक रुद्धोष्म प्रक्रम में सत्य होने के लिए, जहाँ एकमात्र चर ताप $T$ है, घातांक शून्य के बराबर होना चाहिए (क्योंकि $T$ की किसी घात का नियतांक के बराबर होना सुझाव देता है कि $T$ में परिवर्तन व्यंजक के मान को परिवर्तित नहीं करता है)। इसका तात्पर्य है $3 - 2\gamma = 0$, $\gamma$ के लिए हल करने पर:

$3 - 2\gamma = 0 \implies 2\gamma = 3 \implies \gamma = \frac{3}{2}$

इसलिए, गैस के लिए $\frac{C_P}{C_V}$ का अनुपात $\frac{3}{2}$ है, जो विकल्प B $\frac{3}{2}$ से मेल खाता है।

Heat And Thermodynamics

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