समस्या को हल करने के लिए, आइए पहले प्रत्येक संधारित्र में संचित ऊर्जा पर विचार करें, इससे पहले कि उन्हें एक साथ जोड़ा जाए।

एक संधारित्र में संचित ऊर्जा निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$E = \frac{1}{2} C V^2$$

जहाँ $E$ ऊर्जा है, $C$ धारिता है, और $V$ विभव है।

विभव $V$ तक आवेशित पहले संधारित्र के लिए, संचित ऊर्जा है:

$$E_1 = \frac{1}{2} C V^2$$

विभव $2V$ तक आवेशित दूसरे संधारित्र के लिए, संचित ऊर्जा है:

$$E_2 = \frac{1}{2} C (2V)^2 = \frac{1}{2} C \cdot 4V^2 = 2 CV^2$$

निकाय में कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_1$ और $E_2$ का योग है:

$$E_{\text{initial}} = E_1 + E_2 = \frac{1}{2} CV^2 + 2 CV^2 = \frac{5}{2} CV^2$$

जब दोनों संधारित्रों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो उनके विभव समान हो जाएंगे क्योंकि वे समरूप संधारित्र हैं। आइए इस अंतिम विभव को $V_f$ से निरूपित करें। संयोजन से पहले और बाद में कुल आवेश स्थिर रहता है क्योंकि आवेश संरक्षित रहता है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

$$C \cdot V + C \cdot 2V = 2C \cdot V_f$$

इस समीकरण को सरल करने पर हमें अंतिम विभव प्राप्त होता है:

$$V + 2V = 2 V_f$$

$$3V = 2 V_f$$

$$V_f = \frac{3}{2} V$$

जब संधारित्र जुड़े होते हैं तो निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा अब अंतिम विभव $V_f$ पर दोनों संधारित्रों में संचित कुल ऊर्जा है:

$$E_{\text{final}} = 2 \cdot \frac{1}{2} C V_f^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} C \left(\frac{3}{2} V\right)^2 = C \cdot \frac{9}{4} V^2$$

संयुक्त निकाय की ऊर्जा में कमी $ \Delta E $ प्रारंभिक ऊर्जा घटा अंतिम ऊर्जा है:

$$\Delta E = E_{\text{initial}} - E_{\text{final}}$$

$$\Delta E = \frac{5}{2} CV^2 - \frac{9}{4} CV^2$$

$$\Delta E = \frac{10}{4} CV^2 - \frac{9}{4} CV^2$$

$$\Delta E = \frac{1}{4} CV^2$$

सही उत्तर है:

विकल्प A: $\frac{1}{4} CV^2$

Capacitor

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