दी गई दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ जहाँ $a > b$ है, उत्केंद्रता $ e $ सूत्र द्वारा दी जाती है:

$ e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2} $

यह दिया गया है कि उत्केंद्रता $ e $, $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ (दी गई) है, इसलिए हम उत्केंद्रता के दोनों व्यंजकों को बराबर रख सकते हैं:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2} $

वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$ \frac{1}{2} = 1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2 $

$ \left(\frac{b}{a}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} $

$ \left(\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{1}{2} $

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

$ \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

$ a = b\sqrt{2} $

अब, दीर्घवृत्त के लिए, नाभिलम्ब की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

$ \text{नाभिलम्ब की लंबाई (L)} = \frac{2b^2}{a} $

यह दिया गया है कि नाभिलम्ब की लंबाई $ L $, $ \sqrt{14} $ है, इसलिए $ b $ ज्ञात करने के लिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

$ \sqrt{14} = \frac{2b^2}{b\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{2}} $

$ b\sqrt{2} = \sqrt{14} $

$ b^2 = \frac{14}{2} $

$ b^2 = 7 $

और चूँकि $ a = b\sqrt{2} $ है, हम $ a^2 $ ज्ञात कर सकते हैं:

$ a^2 = (b\sqrt{2})^2 $

$ a^2 = 7 \cdot 2 $

$ a^2 = 14 $

अब हमारे पास $ a^2 = 14 $ और $ b^2 = 7 $ वाली एक दीर्घवृत्त है। दी गई दीर्घवृत्त के समान परंतु पदों को घटाकर प्राप्त अतिपरवलय का समीकरण है:

$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $

अतिपरवलय के लिए, उत्केंद्रता $ e' $ का वर्ग दिया जाता है:

$ (e')^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} $

अतिपरवलय की उत्केंद्रता के वर्ग के सूत्र में $ a^2 $ और $ b^2 $ के लिए प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करें:

$ (e')^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} $

$ (e')^2 = 1 + \frac{7}{14} $

$ (e')^2 = 1 + \frac{1}{2} $

$ (e')^2 = \frac{3}{2} $

इसलिए, अतिपरवलय की उत्केंद्रता का वर्ग $ \frac{3}{2} $ है, जो विकल्प C से संगत है।

Ellipse

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