परवलय के लिए

$$ P:\ y^2=4kx $$

इसका नाभिलंब रेखा है

$$ x=k $$

और नाभिलंब के सिरे हैं

$$ (k,\,2k)\quad \text{and}\quad (k,\,-2k). $$

इसलिए, यदि परवलय और दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड परवलय का नाभिलंब है, तो दोनों वक्र निम्न पर प्रतिच्छेद करते हैं

$$ (k,\pm 2k). $$

अब दीर्घवृत्त के लिए

$$ E:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, $$

इसका नाभिलंब एक नाभि से होकर जाने वाली और दीर्घ अक्ष के लंबवत जीवा है।

चूंकि उभयनिष्ठ जीवा ऊर्ध्वाधर है, इसलिए दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए।

अतः नाभियां हैं

$$ (\pm ae,\,0), $$

जहाँ

$$ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}. $$

दीर्घवृत्त का नाभिलंब नाभि से होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा है:

$$ x=ae. $$

इसके सिरे हैं

$$ \left(ae,\ \pm \frac{b^2}{a}\right). $$

लेकिन यही रेखाखंड परवलय का नाभिलंब भी है, जिसके सिरे हैं

$$ (k,\pm 2k). $$

इसलिए, निर्देशांकों की तुलना करने पर:

$$ k=ae $$

और

$$ 2k=\frac{b^2}{a}. $$

दूसरे समीकरण में $k=ae$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$ 2ae=\frac{b^2}{a}. $$

इसलिए,

$$ b^2=2a^2e. $$

अब दीर्घवृत्त के लिए,

$$ b^2=a^2(1-e^2). $$

अतः,

$$ a^2(1-e^2)=2a^2e. $$

$a^2$ से भाग देने पर:

$$ 1-e^2=2e. $$

इसलिए,

$$ e^2+2e-1=0. $$

चूंकि उत्केंद्रता धनात्मक होती है,

$$ e=-1+\sqrt{2}. $$

अब गणना करते हैं:

$$ e^2+2\sqrt{2}. $$

पहले,

$$ e^2=(\sqrt{2}-1)^2=2+1-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}. $$

इसलिए,

$$ e^2+2\sqrt{2}=3. $$

अतः अभीष्ट मान है

$$ \boxed{3}. $$

Ellipse

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