दिया गया अवकल समीकरण

$$\left(e^y + 1\right) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0,$$

हमें $ e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} $ का मान ज्ञात करना है, जबकि हल $ y(x) $ बिंदु $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ से होकर गुजरता है।

सबसे पहले, हम पहचानते हैं कि अवकल समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$d\left(e^y \sin x\right) + \cos x \, dx = 0.$$

इस व्यंजक का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ e^y \sin x + \sin x = C,$$

जहाँ $ C $ एक अचर है। दिया गया है कि हल बिंदु $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ से होकर गुजरता है, हम $ C $ ज्ञात करने के लिए इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

$$ e^0 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = C \Rightarrow 1 + 1 = C \Rightarrow C = 2.$$

इस प्रकार, समीकरण सरल होकर बन जाती है:

$$e^y \sin x + \sin x = 2.$$

अब हमें $ e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} $ का मान निर्धारित करना है। समीकरण में $ x = \frac{\pi}{6} $ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \left(e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} + 1\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2.$$

चूँकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, समीकरण बन जाती है:

$$ \left(e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} + 1\right) \cdot \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} + 1 = 4 \Rightarrow e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} = 3.$$

अतः, $ e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)} $ का मान $ 3 $ है।

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