Vector Algebra

$\mathbf{r} \cdot \frac{\mathbf{c} \times \mathbf{a}}{|\mathbf{c} \times \mathbf{a}|}=\left|\frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{\mathbf{a} \times \mathbf{c}}\right|$

$\mathbf{r} \cdot \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}=\frac{[\mathbf{a} \mathbf{b c}]}{|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|}$

$\mathbf{r} \cdot \frac{\mathbf{b} \times \mathbf{c}}{|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|}=\frac{[\mathbf{a} \mathbf{b c}]}{|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|}$

$\mathbf{r} \cdot[\mathbf{a} \mathbf{b c}] \mathbf{a}=\frac{|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|}{|\mathbf{a} \times \mathbf{c}|}$