इस समस्या को हल करने के लिए, हमें समान द्रव्यमान M और त्रिज्या R वाले ठोस गोले (K₁) की घूर्णन त्रिज्या और पतले खोखले गोले (K₂) की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात ज्ञात करना है।

अपने स्वयं के अक्ष के परितः ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण (I) निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$I_{solid} = \frac{2}{5}MR^2$$

घूर्णन त्रिज्या (K) जड़त्व आघूर्ण (I) और द्रव्यमान (M) से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:

$$I = MK^2$$

अतः ठोस गोले के लिए, हम K₁ निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं:

$$K^2_{1} = \frac{I_{solid}}{M} = \frac{2}{5}R^2$$

$$K_{1} = R\sqrt{\frac{2}{5}}$$

अब, पतले खोखले गोले के लिए, इसके अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$I_{hollow} = \frac{2}{3}MR^2$$

हम K₂ निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं:

$$K^2_{2} = \frac{I_{hollow}}{M} = \frac{2}{3}R^2$$

$$K_{2} = R\sqrt{\frac{2}{3}}$$

अब, हमें अनुपात K₁ : K₂ ज्ञात करना है:

$$\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{R\sqrt{\frac{2}{5}}}{R\sqrt{\frac{2}{3}}}$$

R पद निरस्त हो जाते हैं, और हमारे पास शेष रहता है:

$$\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}$$

भिन्न का वर्गमूल लेकर सरल करें:

$$\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{5}\sqrt{2}}$$

अब, 2 के वर्गमूल पद निरस्त हो जाते हैं, जिससे हमें प्राप्त होता है:

$$\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$$

Rotational Motion

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