पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए, हम उपग्रह के आवर्तकाल T के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो पृथ्वी के घनत्व d और गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G के पदों में है:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}$$

जहाँ a कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष है (जो सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए पृथ्वी की त्रिज्या R के लगभग बराबर है) और M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

हम पृथ्वी के द्रव्यमान M को उसके घनत्व d और आयतन के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

$$M = dV = d\times\frac{4}{3}\pi R^3$$

अब, M के इस व्यंजक को T के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gd\times\frac{4}{3}\pi R^3}}$$

चूंकि उपग्रह पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा कर रहा है, हम a ≈ R का सन्निकटन कर सकते हैं:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{Gd\times\frac{4}{3}\pi R^3}}$$

समीकरण को सरल करें:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{Gd\times\frac{4}{3}\pi}}$$

अब, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

$$T^2 = 4\pi^2\frac{1}{Gd\times\frac{4}{3}\pi}$$

और सरल करें:

$$T^2 = \frac{3\pi}{Gd}$$

इस प्रकार, राशि $$\frac{3\pi}{Gd}$$ दर्शाती है $$T^2$$।

Gravitation

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