दिया गया समीकरण है:

$$ f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{(x-t)} f(t) d t $$

चूँकि $e^{(x-t)}=e^x \cdot e^{-t}$ है, इसलिए हम $e^x$ को समाकलन के बाहर ले जा सकते हैं क्योंकि यह $t$ के सापेक्ष एक अचर है

$$ f(x)=1-2 x+e^x \int_0^x e^{-t} f(t) d t $$

लाइबनिज़ नियम (Leibniz Rule) और गुणनफल नियम (product rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$$ f^{\prime}(x)=-2+\left[e^x \int_0^x e^{-t} f(t) d t+e^x\left(e^{-x} f(x)\right)\right] $$

अब, हम अपने मूल समीकरण से प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि $e^x \int_0^x e^{-t} f(t) d t=f(x)- (1-2 x)$ है। इसे वापस अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

$$ f^{\prime}(x)=-2+[f(x)-1+2 x]+f(x) $$

$$\Rightarrow $$ $$ f^{\prime}(x)=2 f(x)+2 x-3 $$

पदों को संयोजित कर $\frac{d f(x)}{d x}+P(x) f(x)=Q(x)$ के रूप में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त करने पर

$$ \frac{d f(x)}{d x}-2 f(x)=2 x-3 $$

$f(x)$ के लिए हल करने पर

समाकलन गुणक (IF): $e^{\int-2 d x}=e^{-2 x}$

व्यापक हल: $f(x) \cdot e^{-2 x}=\int(2 x-3) e^{-2 x} d x$

दाएं पक्ष का समाकलन (खण्डशः समाकलन द्वारा) करने पर, हमें $f(x)=1-x+C e^{2 x}$ प्राप्त होता है।

$f(0)=1$ (मूल समीकरण से) का उपयोग करने पर, हमें $C=0$ प्राप्त होता है।

परिणाम: $f(x)=1-x$.

$g(x)$ के चरम मान ज्ञात करने पर

$$ g(x)=\int_0^x(f(t)+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} d t $$

लाइबनिज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर

$$ g^{\prime}(x)=(f(x)+2)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} $$

$f(x)=1-x$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$ \begin{gathered} g^{\prime}(x)=(1-x+2)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} \\ g^{\prime}(x)=(3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} \end{gathered} $$

क्रांतिक बिंदु: $x=3,4,-12$.

स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करने के लिए संख्या रेखा पर आलेखित करने पर।

JEE Main 2026 (Online) 28th January Evening Shift Mathematics - Definite Integration Question 28 Hindi Explanation

स्थानीय निम्निष्ठ ( $p$ ): $x=-12$ पर, $g^{\prime}(x)$ अपना चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित करता है। अतः, $p=-12$।

स्थानीय उच्चिष्ठ ( $q$ ): $x=3$ पर, $g^{\prime}(x)$ अपना चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित करता है। अतः, $q=3$।

$x=4$ : कोई चिह्न परिवर्तन नहीं होता है (सम घात 6 के कारण), अतः यह कोई स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।

अंतिम उत्तर

$$ |p+q|=|-12+3|=|-9|=9 $$

$|p+q|$ का मान 9 है।

Definite Integration

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