ong>

$ k_i + U_i = k_f + U_f $

Initially (at the top), we have:

Initial kinetic energy, $k_i = 0$ (since they start from rest)

Initial potential energy, $U_i = Mgh$

Finally (at the bottom), we have:

Final potential energy, $U_f = 0$

Final kinetic energy, $k_f = \frac{1}{2}mv^2\left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right)$

This gives:

$ Mgh = \frac{1}{2}mv^2\left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right) $

Solving for the velocity $V$:

$ V = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}} $

Ratio of Velocities:

For the circular ring (moment of inertia $I = mR^2$), $\frac{k^2}{R^2} = 1$.

For the solid sphere (moment of inertia $I = \frac{2}{5}mR^2$), $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.

The ratio is:

$ \frac{V_{\text{Ring}}}{V_{\text{Solid Sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2}{5}}{1 + 1}} = \sqrt{\frac{7}{10}} $

Thus, $x = 3.5$. Rounding off, $x = 4$.

19:T800,

एक वृत्ताकार वलय और एक ठोस गोले के लिए वेग का अनुपात निर्धारित करने के लिए, जो एक आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कते हैं, हम यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करते हैं:

यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण:

$ k_i + U_i = k_f + U_f $

प्रारंभ में (शीर्ष पर), हमारे पास है:

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा, $k_i = 0$ (क्योंकि वे विराम से प्रारंभ करते हैं)

प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा, $U_i = Mgh$

अंत में (तल पर), हमारे पास है:

अंति

Rotational Motion

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