दिया गया परवलय है $ y = x^2 + px - 3 $.

y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन:

$ x = 0 $ पर, हम पाते हैं $ y = -3 $।

इस प्रकार, परवलय y-अक्ष को बिंदु $ (0, -3) $ पर प्रतिच्छेद करता है।

वृत्त का समीकरण:

हमें दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $(-1, -1)$ पर है और यह उन बिंदुओं से होकर गुजरता है जहाँ परवलय अक्षों को प्रतिच्छेद करता है। त्रिज्या केंद्र से किसी भी दिए गए बिंदु तक की दूरी का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है जिससे वृत्त गुजरता है। $ (0, -3) $ का उपयोग करते हुए:

$ \text{त्रिज्या} = \sqrt{(0 + 1)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} $

इसलिए, वृत्त का समीकरण है:

$ (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 5 $

यह सरल होकर बनता है:

$ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 5 $

$ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 2 = 5 $

$ x^2 + y^2 + 2x + 2y - 3 = 0 $

x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन:

जब $ y = 0 $, द्विघात $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ को हल करने पर:

$ (x + 3)(x - 1) = 0 $

अतः, $ x = -3 $ या $ x = 1 $।

इस प्रकार, x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 0)$ और $(1, 0)$ हैं।

त्रिभुज $\triangle PQR$ के शीर्ष:

बनने वाले त्रिभुज के शीर्ष $ P = (0, -3) $, $ Q = (-3, 0) $, और $ R = (1, 0) $ हैं।

$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सारणिक सूत्र का उपयोग करें:

$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} 0 & -3 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right| $

सारणिक की गणना करें:

$ = \frac{1}{2} \left( (0)(0)(1) + (-3)(1)(1) + (1)(-3)(1) - (1)(0)(1) - (-3)(1)(0) - (0)(-3)(1) \right) $

सरल करें:

$ = \frac{1}{2} \left( 0 - 3 + 3 + 0 \right) = \frac{1}{2} (12) = 6 $

इस प्रकार, $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल 6 है।

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