किसी कण पर कार्यरत बल को स्थितिज ऊर्जा फलन से ऋणात्मक प्रवणता का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। त्रि-आयामी समष्टि में, बल सदिश F स्थितिज ऊर्जा फलन $ U $ से निम्न प्रकार संबंधित है:

$$ \mathbf{F} = -\nabla U $$

जहाँ $ \nabla U $ ($ U $ की प्रवणता) एक सदिश है जिसके घटक $ U $ के $ x $, $ y $, और $ z $ के सापेक्ष आंशिक अवकलजों द्वारा दिए जाते हैं:

$$ \nabla U = \left( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z} \right) $$

दिया गया स्थितिज ऊर्जा फलन:

$$ U = 2x^2 + 3y^3 + 2z $$

बल के $ x $-घटक को ज्ञात करने के लिए $ U $ का $ x $ के सापेक्ष आंशिक अवकलज की गणना कीजिए:

$ x $ के सापेक्ष आंशिक अवकलज:

$$ \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y^3 + 2z) = 4x $$

बल के $ x $-घटक की गणना कीजिए:

चूँकि $ F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} $, अतः बल का $ x $-घटक है:

$$ F_x = -4x $$

बिंदु $ P(1,2,3) $ पर मान ज्ञात कीजिए:

$ F_x $ के व्यंजक में $ x = 1 $ प्रतिस्थापित कीजिए:

$$ F_x = -4(1) = -4 $$

बल के $ x $-घटक का परिमाण है:

$$ |F_x| = 4 \, \text{N} $$

इस प्रकार, सही उत्तर है विकल्प A: 4।

Work Power And Energy

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