बिना फिसले नत तल पर लुढ़कते हुए बेलन के त्वरण को निर्धारित करने के लिए, हम न्यूटन के दूसरे नियम और लुढ़कन गति की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। कोण $$ \theta $$ पर नत तल के लिए, तल के अनुदिश गुरुत्वीय त्वरण का घटक $$ g \sin \theta $$ होता है। हालांकि, क्योंकि बेलन लुढ़क रहा है और फिसल नहीं रहा है, इस घटक का सभी भाग द्रव्यमान केंद्र को त्वरित नहीं करता; इसका कुछ भाग द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी त्वरण उत्पन्न करने में लगता है।

लुढ़कते हुए बेलन के लिए, जड़त्व आघूर्ण $$ I $$ है $$ I = \frac{1}{2} m r^2 $$, जहाँ $$ m $$ बेलन का द्रव्यमान है और $$ r $$ त्रिज्या है। बिना फिसले लुढ़कने की शर्त यह है कि द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $$ a $$, त्रिज्या $$ r $$ गुणा कोणीय त्वरण $$ \alpha $$ के बराबर होता है, अर्थात्, $$ a = r \alpha $$।

रैखिक त्वरण $$ a $$ ज्ञात करने के लिए, हम नत तल के नीचे गुरुत्वीय बल के कारण द्रव्यमान केंद्र के परितः बलाघूर्ण $$ \tau $$ का उपयोग करते हैं। गुरुत्व के कारण बलाघूर्ण $$ \tau = mg \sin \theta \cdot r $$ है, और घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से, कोणीय त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है

$$ \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mg \sin \theta \cdot r}{\frac{1}{2} m r^2} = \frac{2g \sin \theta}{r} $$

अब $$ a = r \alpha $$ का उपयोग करते हुए:

$$ a = r \left( \frac{2g \sin \theta}{r} \right) = 2g \sin \theta $$

लेकिन हमें इस तथ्य को ध्यान में रखना चाहिए कि लुढ़कन की शर्त के कारण गुरुत्वीय त्वरण का केवल एक भाग ही बेलन को तल के नीचे स्थानांतरित करने में जाता है। यहीं पर हम बेलन के लिए "लुढ़कन गुणक" की अवधारणा लागू करते हैं, जो ठोस बेलन के लिए $$ \frac{2}{3} $$ होता है, जिसका अर्थ है कि गुरुत्वीय घटक का $$ \frac{2}{3} $$ भाग स्थानांतरण के लिए उपयोग होता है।

इसलिए बेलन के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है:

$$ a = \frac{2}{3} g \sin \theta $$

अब हम $$ \theta = 60^{\circ} $$ (जिसके लिए $$ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$) और $$ g = 10 \; m/s^2 $$ के मान प्रतिस्थापित करते हैं:

$$ a = \frac{2}{3} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} $$

दिए गए व्यंजक $$ \frac{x}{\sqrt{3}} m / s^2 $$ से मिलान करने के लिए, आइए $$ a $$ के लिए हमारे व्यंजक को परिवर्तित करें:

$$ a = \frac{10 \sqrt{3}}{3} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} m/s^2 $$

अतः, $$ x $$ का मान $$ 10 $$ है।

Rotational Motion

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