परिक्रमण काल T और कक्षा की त्रिज्या R के बीच संबंध के लिए सही विकल्प खोजने के लिए, हम आकर्षण बल और $\mathrm{R}^{-3 / 2}$ के साथ इसकी समानुपातिकता पर विचार करेंगे।

न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार, दूरी $r$ द्वारा पृथक दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच आकर्षण बल $F$ निम्न द्वारा दिया जाता है $$ F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}, $$ जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

हालांकि, इस विशेष स्थिति में, आकर्षण बल $\mathrm{R}^{-3 / 2}$ के समानुपाती दिया गया है, इसलिए हम लिख सकते हैं $$ F \propto \frac{1}{R^{3/2}}. $$

चूंकि ग्रह तारे के चारों ओर एक वृत्तीय कक्षा में है, इसलिए ग्रह को कक्षा में रखने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल इस गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए। अतः, हम लिख सकते हैं कि $$ \frac{m v^2}{R} \propto \frac{1}{R^{3/2}}, $$ जहाँ $m$ ग्रह का द्रव्यमान है और $v$ इसकी कक्षीय चाल है।

इसे सरल करने पर, हमें मिलता है $$ v^2 \propto \frac{1}{R^{1/2}}. $$

अब, चाल $v$ को आवर्तकाल T से कक्षा की परिधि के माध्यम से संबंधित किया जा सकता है, जो $2\pi R$ द्वारा दी जाती है। कक्षीय चाल परिधि को आवर्तकाल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: $$ v = \frac{2\pi R}{T}. $$

इसे हमारी समानुपातिकता में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

$$ \left( \frac{2\pi R}{T} \right)^2 \propto \frac{1}{R^{1/2}}, $$

जो सरल होकर बन जाता है

$$ \frac{4\pi^2 R^2}{T^2} \propto \frac{1}{R^{1/2}}. $$

$T^2$ के लिए हल करने पर, हमें मिलता है

$$ T^2 \propto \frac{R^{2 + 1/2}}{4\pi^2}, $$

अतः $$ T^2 \propto R^{5/2}. $$

इसलिए, सही विकल्प है विकल्प C

$$ T^2 \propto R^{5/2}. $$

Gravitation

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