तार के एक अनुप्रस्थ काट से $20$ सेकंड की अवधि में गुजरने वाले विद्युत आवेश $Q$ की मात्रा की गणना करने के लिए, जब धारा समय के साथ $I = I_0 + \beta t$ के रूप में परिवर्तित होती है, जहाँ $I_0 = 20$ A (प्रारंभिक धारा) और $\beta = 3$ A/s (समय के साथ धारा के परिवर्तन की दर), हम कलन से समाकलन की अवधारणा का उपयोग करते हैं क्योंकि धारा स्थिर नहीं है बल्कि समय के साथ रैखिक रूप से बदलती है।

विद्युत आवेश $Q$, $0$ से $20$ सेकंड के समय अंतराल में धारा $I$ का समाकलन है। $Q$ का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$Q = \int_{0}^{T} I(t) \, dt$

जहाँ $I(t) = I_0 + \beta t$ और $T = 20$ s। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$Q = \int_{0}^{20} (20 + 3t) \, dt$

इस समाकलन को दो भागों में हल किया जा सकता है:

1. स्थिर पद $20$ का समाकलन:

$\int 20 \, dt = 20t$

2. रैखिक पद $3t$ का समाकलन:

$\int 3t \, dt = \frac{3}{2}t^2$

इस प्रकार, इन्हें संयोजित करके और $0$ से $20$ सेकंड तक मान ज्ञात करने पर:

$Q = \left[20t + \frac{3}{2}t^2\right]_{0}^{20}$

$Q = \left[20(20) + \frac{3}{2}(20)^2\right] - \left[20(0) + \frac{3}{2}(0)^2\right]$

$Q = 400 + 600 = 1000$ C

इसलिए, $20$ सेकंड में तार के एक अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाले विद्युत आवेश की मात्रा $1000$ C है।

Current Electricity

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