हाइड्रोजन-सदृश आयन से इलेक्ट्रॉन संक्रमणों के दौरान विकिरण की उत्सर्जन आवृत्ति को हाइड्रोजन-सदृश परमाणुओं के लिए रिडबर्ग समीकरण से व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके समझा जा सकता है, जो इस प्रकार दिया गया है:

$$E = \frac{E_0}{h} \left( \frac{1}{n^2_1} - \frac{1}{n^2_2} \right)$$

जहाँ:

$E$ उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा है,
$E_0$ हाइड्रोजन के लिए रिडबर्ग नियतांक है,
$h$ प्लांक नियतांक है,
$n_1$ और $n_2$ क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा स्तरों के लिए मुख्य क्वांटम संख्याएँ हैं, जहाँ $n_2 < n_1$।

दिया गया है कि $n=2$ से $n=1$ में संक्रमण $3 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ आवृत्ति के साथ विकिरण उत्सर्जित करता है, हम लिख सकते हैं:

$$\nu_1 = 3 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$$

$n=3$ से $n=1$ में संक्रमण के लिए, हम उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति, $\nu_2$, ज्ञात करने के लिए उसी सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं, जो संक्रमण में शामिल ऊर्जा स्तरों के अंतर पर निर्भर करेगी। आवृत्ति इस ऊर्जा अंतर के सीधे समानुपाती है, इसलिए हम उनकी संबंधित आवृत्तियों का उपयोग करके दोनों संक्रमणों की तुलना कर सकते हैं:

$$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\left( \frac{1}{n_{1f}^2} - \frac{1}{n_{1i}^2} \right)}{\left( \frac{1}{n_{2f}^2} - \frac{1}{n_{2i}^2} \right)} = \frac{\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right)}{\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)} = \frac{\left(1 - \frac{1}{9}\right)}{\left(1 - \frac{1}{4}\right)}$$

सरलीकरण के बाद:

$$\frac{\nu_2}{3 \times 10^{15}} = \frac{\left(\frac{8}{9}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)} = \frac{32}{27}$$

इस प्रकार, $n=3$ से $n=1$ में संक्रमण के लिए आवृत्ति $\nu_2$ ज्ञात करने के लिए:

$$\nu_2 = \frac{32}{27} \times 3 \times 10^{15} \mathrm{Hz} = \frac{32}{9} \times 10^{15} \mathrm{Hz}$$

अतः, आवृत्ति के लिए दिए गए सूत्र $\frac{x}{9} \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ में, $x$ का मान $32$ के बराबर है।

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