इस समस्या को हल करने के लिए, आइए पहले एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) के तीन क्रमागत पदों को सार्व अनुपात $r$ के साथ $a$, $ar$, और $ar^2$ के रूप में निरूपित करें, जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r > 1$ है। ये तीन पद एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को दर्शाते हैं।

त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। इसलिए, इन तीन पदों द्वारा एक त्रिभुज बनाने के लिए, निम्नलिखित असमिकाएँ संतुष्ट होनी चाहिए:

$$ 1) \ a + ar > ar^2 \\\\ $$

$$2) \ a + ar^2 > ar $$

$$ 3) \ ar + ar^2 > a $$

दिया गया है कि $r > 1$, असमिकाएँ 2 और 3 हमेशा संतुष्ट होंगी क्योंकि:

$$ ar < ar^2 \ \text{और} \ a < ar, $$

यह दर्शाता है कि $a + ar^2$ और $ar + ar^2$ दोनों क्रमशः $ar$ और $a$ से अधिक होंगे। इसलिए, हमें केवल पहली असमिका की जाँच करने की आवश्यकता है यह सुनिश्चित करने के लिए कि तीन पद एक त्रिभुज बना सकते हैं:

$$ a + ar > ar^2 $$

इसे सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ a(1 + r) > a r^2 $$

चूँकि $a$ धनात्मक है (क्योंकि यह त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है), हम असमिका की दिशा बदले बिना दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित कर सकते हैं:

$$ 1 + r > r^2 $$

फिर हम दोनों पक्षों से $r$ घटा सकते हैं:

$$ 1 > r^2 - r $$

$r$ को गुणनखंडित करके दाईं ओर को सरल बनाने पर:

$$ 1 > r(r - 1) $$

दिया गया है कि $r > 1$, राशि $(r - 1)$ धनात्मक है; अतः, $r(r - 1)$ भी धनात्मक है। इसका अर्थ है कि असमिका को संतुष्ट करने के लिए $r$ का वास्तविक मान अंतराल $(1, \sqrt{2})$ के भीतर है क्योंकि $r(r - 1)$ बढ़ते $r$ के साथ बढ़ता है, और यह 1 होगा जब $r = \sqrt{2}$ हो। यह 1 से अधिक और $\sqrt{2}$ से कम होना चाहिए ताकि $r^2 - r$ एक से कम रहे।

अब आइए व्यंजकों $[r]$ और $[-r]$ पर विचार करें। चिह्न $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है (जिसे फ्लोर फलन भी कहा जाता है)।

चूँकि $1 < r < \sqrt{2}$, $[r] = 1$ है, क्योंकि 1 उस अंतराल के भीतर $r$ से कम महत्तम पूर्णांक है।

$[-r]$ के लिए, हमें $-r$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक चाहिए। चूँकि $-r$ ऋणात्मक है और $-1$ से कम है (क्योंकि $r > 1$), $[-r] = -2$ है, क्योंकि यह महत्तम पूर्णांक है जो $r$ के ऋणात्मक मान (जो $-\sqrt{2}$ और $-1$ के बीच स्थित है) से अधिक नहीं है।

अब हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$$ 3[r] + [-r] = 3 \cdot 1 + (-2) = 3 - 2 = 1 $$

इसलिए $3[r] + [-r]$ बराबर है 1 के।

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